Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам

В настоящей дипломной работе изложены основы теории нильпотентной длины конечной разрешимой группы. Целью дипломной работы является исследование величины нильпотентной длины конечных разрешимых групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам. В работе рассмотрены следующие вопросы: подгруппа Фиттинга конечной разрешимой группы и ее свойства; нильпотентная длина и другие инварианты кон

ечной разрешимой группы; признаки разрешимости конечной группы с извесными добавлениями к максимальным погруппам; нахождение величины нильпотентной длины разрешимой группы с известными добавлениями к максимальным подгруппам.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе "Подгруппа Фиттинга и ее свойства" изучены свойства подгруппы Фиттинга.

Определение. Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через .

Определение. Нильпотентной длиной разрешимой группы называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы обозначают через .

На основе подгруппы Фиттинга вводится следующая

Теорема А. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.

Также рассматривается доказательство теоремы К. Дёрка.

Теорема B. Если - максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .

Доказана теорема Монахова В.С.

Определение. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от .

Определение. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех ее максимальных подгрупп. Подгруппа Фраттини группы обозначается через .

Теорема C. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Во второй главе "-длина -разрешимой группы" даны следующие определения.

Определение. Пусть - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа является либо -группой, либо -группой.

Определение. Наименьшее целое число , для которого , мы назовем -длинной группы и обозначим его , или, если необходимо, .

-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда

Доказывается

Теорема D. Если - -разрешимая группа, где - нечетное простое число, то

(i)

(ii) если не является простым числом Ферма, и , если - простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.

В главе "Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам" доказана важная теорема.

Определение. Группа называется -сверхразрешимой, если ее главные факторы либо -группы, либо имеют простые порядки. -Сверхразрешимой называют группу, у которой факторы главного ряда либо имеют порядок , либо являются -группами. Группа, у которой все факторы главного ряда имеют простые порядки, называется сверхразрешимой.

 Скачать реферат