Страница
14
Так как , то доказательство по индукции проведено.
Прежде чем применять лемму 2.5 к доказательству неравенства для , удобно уточнить её для случая, при котором
состоит из одного простого числа
. Пусть
есть
-разрешимая группа с верхним
-рядом (2.2) . Тогда лемма 2.5, применённая к группе
, показывает, что если
- элемент группы
, не входящий в
, то трансформирование элементом
индуцирует в
нетождественный автоморфизм. Необходимое уточнение состоит в замене группы
группой
, где
- подгруппа Фраттини группы
. Теперь
-
-группа, и таким образом
- элементарная абелева
-группа. Ясно поэтому, что автоморфизм группы
, индуцированный группы
, тождественный. Таким образом, множество элементов группы
, которое тождественно трансформирует
, является нормальной подгруппой
группы
, такой, что
. По определению
фактор группа
не может быть
-группой, отличной от 1, так что если
, то группа
должна содержать элемент
, не входящий в
и порядка, взаимно простого
. Тогда
индуцирует автоморфизм группы
порядка, взаимно простого с
. Но автоморфизм
-группы, тождественоой по модулю подгруппе Фраттини, имеет порядок, равный степени числа
. Таким образом,
индуцирует в
нетождественный автоморфизм, что противоречит определению группы
. Значит,
, что и требовалось. Таким образом:
Лемма 2.11. Если есть
-разрешимая группа с верхним
-рядом (2.2) и если
- подгруппа Фраттини группы
, то автоморфизмы группы
, которые индуцированы трансформированиями элементами группы
, представляют
точно.
Следствие 2.12. .
По лемме группа не обладает неединичной нормальной
-подгруппой, и последующие члены её верхнего
-ряда представляют собой фактор группы по
соответствующих членов верхнего
-ряда группы
.
Теорема 2.13. Для любой -разрешимой группы
(I)
(II)
Мы можем использовать индукцию по порядку группы и предположить, что
обладает только одной минимальной нормальной подгруппой
. Очевидно, мы можем также предположить, что
, откуда последствию из леммы 2.11
, а, следовотельно,
, и
- элементарная абелева
-группа. Теперь, полагая
, мы получим, что
, так что по предположению индукции заключаем, что
. Если
- группа порядка
, то порядок её группы автоморфизмов
равен