Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам
Лемма 2.7. Если -разрешимая группа
не содержит неединичную
-подгруппу, так что
, то группа
содержит свой централизатор в группе
.
Пусть - централизатор группы
. Если лемма не верна и
, то мы можем выбрать нормальную подгруппу
группы
, такую, что
и минимальную при этом условии. Так как группа
-разрешима, факторгруппа
оказывается или
-группой, или
-группой, а по определению группы
она не может быть
-группой. Следовательно, факторгруппа
есть
-группа и порядки групп
и
взаимно просты. По теореме Шура, группа
обладает дополнением
в группе
. Так как
, трансформирование группы
элементом из
индуцирует ее внутренний автоморфизм, а т.к. порядки
и
взаимно просты, этот автоморфизм может быть только тождественным. Тогда
- прямое произведение
и
. Поэтому
является характеристической подгруппой в
, а следовательно, нормальной подгруппой в
, в потиворечие с предположением, что
. Это противоречие доказывает лемму. Заметим, что предположение
на самом деле излишне, так как в общем случае мы можем применить лемму к факторгруппе
.
Следствие 2.8. Пусть - некоторая подгруппа
, индекс которой не делится ни на какое простое число из
, тогда центр группы
содержится в центре группы
.
Действительно, подгруппа должна содержать нормальную
-подгруппу
группы
.
Следствие 2.9. Пусть - некоторая подгруппа группы
, содержащая
, тогда
не обладает неединичной нормальной
-подгруппой.
Действительно, нормальная -подгруппа группы
должна содержаться в центролизаторе группы
.
Под -подгруппой конечной группы
мы подразумеваем такую подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты. Если группа
разрешима и ее порядок равен
, где
, то группа
обладает
-подгруппами порядка
и любые две из них сопряжены, а поэтому изоморфны.
Теорема 2.10. Если - разрешимая группа порядка
, где
при
, и если подгруппа группы
порядка
имеет класс нильпотентности
то
В частности, для любой конечной разрешимой группы .
-подгруппа некоторой факторгруппы
, порядок которой делит
, имеет класс нильпотентности, не превышающий
, так что мы можем применить утверждение леммы 2.5 и получить результат индукцией по порядку группы
, допустив что
обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Это будет
-группа для некоторого простого числа
, и мы можем поэтому предполодить, что ее порядок делит
. Тогда, если мы возьмем в качестве
множество простых долителей числа
, окажется выполненной предпосылка леммы 2.5. Если
- наибольшая нормальная
-подгруппа группы
и
- ее центр, то по следствию леммы 2.5
содержит центр
-подгруппы группы
, имеющей порядок
. Порядок
-подгруппы группы
делит
, поэтому класс нильпотентности ее не более
. Для
-подгруппы групп
и
порядка
изоморфны, так что в силу предположения индукции, примененной к
, получим
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах