Страница
13

Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам

Лемма 2.7. Если -разрешимая группа не содержит неединичную -подгруппу, так что , то группа содержит свой централизатор в группе .

Пусть - централизатор группы . Если лемма не верна и , то мы можем выбрать нормальную подгруппу группы , такую, что и минимальную при этом условии. Так как группа -разрешима, факторгруппа оказывается или -группой, или -группой, а по определению группы она не может быть -группой. Следовательно, факторгруппа есть -группа и порядки групп и взаимно просты. По теореме Шура, группа обладает дополнением в группе . Так как , трансформирование группы элементом из индуцирует ее внутренний автоморфизм, а т.к. порядки и взаимно просты, этот автоморфизм может быть только тождественным. Тогда - прямое произведение и . Поэтому является характеристической подгруппой в , а следовательно, нормальной подгруппой в , в потиворечие с предположением, что . Это противоречие доказывает лемму. Заметим, что предположение на самом деле излишне, так как в общем случае мы можем применить лемму к факторгруппе .

Следствие 2.8. Пусть - некоторая подгруппа , индекс которой не делится ни на какое простое число из , тогда центр группы содержится в центре группы .

Действительно, подгруппа должна содержать нормальную -подгруппу группы .

Следствие 2.9. Пусть - некоторая подгруппа группы , содержащая , тогда не обладает неединичной нормальной -подгруппой.

Действительно, нормальная -подгруппа группы должна содержаться в центролизаторе группы .

Под -подгруппой конечной группы мы подразумеваем такую подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты. Если группа разрешима и ее порядок равен , где , то группа обладает -подгруппами порядка и любые две из них сопряжены, а поэтому изоморфны.

Теорема 2.10. Если - разрешимая группа порядка , где при , и если подгруппа группы порядка имеет класс нильпотентности то

В частности, для любой конечной разрешимой группы . -подгруппа некоторой факторгруппы , порядок которой делит , имеет класс нильпотентности, не превышающий , так что мы можем применить утверждение леммы 2.5 и получить результат индукцией по порядку группы , допустив что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Это будет -группа для некоторого простого числа , и мы можем поэтому предполодить, что ее порядок делит . Тогда, если мы возьмем в качестве множество простых долителей числа , окажется выполненной предпосылка леммы 2.5. Если - наибольшая нормальная -подгруппа группы и - ее центр, то по следствию леммы 2.5 содержит центр -подгруппы группы , имеющей порядок . Порядок -подгруппы группы делит , поэтому класс нильпотентности ее не более . Для -подгруппы групп и порядка изоморфны, так что в силу предположения индукции, примененной к , получим

 Скачать реферат