Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам

будет нильпотентной подгруппой.

Теперь рассмотрим случай, когда - минимальная нормальная в подгруппа. Предположим, что коммутант - собс

твенная в подгруппа. Так как

то

Из минимальности получаем, что

Так как

где и - простые числа, то в этом случае теорема доказана.

Итак, пусть . Если - собственная подгруппа в своём централизаторе, то из простоты следует, что содержится в центре . Теперь группа изоморфна или по теореме VI.25.7 [14].

Пусть самоцентрализуема. Поскольку разрешима, то - -группа для некоторого простого . Допусти, что существует простое , делящее порядок , и пусть - силовская -подгруппа из . Если подгруппа сверхразрешима, то нильпотентна и не самоцентрализуема. Если не сверхразрешима, то по условию теоремы существует нильпотентная подгруппа такая, что . Но теперь

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп, противоречие. Итак, - наибольшее простое число, делящее порядок .

Допустим, что не содержится в . Тогда - собственная в подгруппа и . Так как , и - -группа, то - группа нечётного порядка. Подгруппа имеет порядок и - простое число. Поэтому и теперь , а фактор-группа

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.

Следовательно, содержится в и из самоцентрализуемости и нильпотентности получаем, что - -группа для наибольшего простого , делящего порядок . Из теоремы 2.1 [15] получаем, что , а . Но теперь - подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как её порядок равен , то нильпотентна, и опять не самоцентрализуема. Противоречие.

Теорема доказана полностью.

Рассмотрим доказательство следствия.

Proof. Пусть - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если - несверхразрешимая в подгруппа, то , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из , т. е. группа удовлетворяет условию теоремы. Поэтому

или

 Скачать реферат