Теория вероятностей на уроках математики

Развитие теории вероятностей в начале XX века привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ. Возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия - вероятности.

Первые работы того периода связанны с именами С.Н. Берштейна, Мизеса, Э. Бореля. окончательное становление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века. Это произошло благодаря А.Н. Косм

огорову. В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки.

§2. Виды событий

События в материальном мире можно разбить на три категории –достоверные, невозможные и случайные. Например, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число выпавших очков будет натуральным числом, невозможно, чтобы это число равнялось 7, и возможно, что оно будет равно 5, а при других будут выпадать другие значения очков: 1,2,3,4 или 6.

Определение 1. случайными событиями называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Примеры:

1. выпадение герба при бросании одной монеты.

2. выпадение четырех очков при бросании игральной кости – случайные события.

Определение 2. Случайное событие, которое обязательно наступит, называется достоверным событием и обозначается буквой ù.

Примеры:

3. выпадение герба или цифры при подбрасывании одной монеты;

4. выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных команд – достоверные события.

Определение 3. Событие определяется невозможным, если оно не содержит никакого множества исходов и обозначается буквой .

При любом исходе испытания это событие не происходит. Иными словами, невозможное событие состоит из пустого множества исходов.

Примеры:

5. выпадение более 6 очков при подбрасывании игрального кубика;

6. выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании одной монеты – невозможные события.

§3. Вероятностное пространство

Представим, что некоторый прямоугольник Е мы разрезали (рис 1) на n прямоугольных пронумерованных карточек еi (i=1,2,3, . .,n). допустим, после хорошей перестановки одну карточку наугад вытаскиваем из всей стопки. При такой операции:

· одно из событий "вытащена одна карточка" непременно произойдет;

· при одном испытании вытаскивание любой из карточек появляется в одном и только одном исход; например, если была вытащена карточка 17, т.е. произошло событие е17, то в это же время не могло произойти событие е5, состоящее в вытаскивании карточки с номером 5

Рис 1. Рис. 2.

События ei, состоящие в появлении карточки с номером i (i=1,2,3,…. n), могут послужить примером элементарных событий, а прямоугольник е – примером пространства элементарных событий, связанных с реализацией испытания S – выталкиванием одной карточки после разреза прямоугольника на Е на маленькие прямоугольники и вытаскивания случайной карточки после тщательной перестановки.

Определение 1. Пространство элементарных событий (полная группа событий) множество событий таких, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Пространство элементарных событий Е, определенное бросанием игральной кости, представляет события, где еi выпало n очков (n=1,2,3,4,5,6)

Рассмотрим события (рис 2):

А-"выпало четное число очков"

В-"выпало не меньше 2 очков"

С-"выпало не больше 2 очков"

А произошло, если произошло одно из элементарных событий е2, е4, е6. Выразим это символом е2еА, е4еА, е6еА.

Тогда: е2

е3 е1

е4 = еВ, =еС

е5 е2

е6

Поскольку е2, е4, е6 есть некоторые из элементов

Пространства Е={е1, е2, е3, е4, е5, е6}, эту тройку удобно назвать подпространством (частью) пространства Е значит, событие А можно рассматривать как пространство ему благоприятствующих элементарных событий {е2; е3; е4; е5; е6}, событие С - как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {е1, е2}. Если ei не благоприятствует событию с-то пишут ei=A.

Реализация испытаний S однозначно определяет пространство элементарных событий Е. Любое случайное событие Н связанное с испытанием S, можно рассматривать как подпространство благоприятствующих этому событию элементарных событий пространства Е. Изобразить его можно некоторой фигурой, построенной из клеточек символи-

зирующих элементарные события, благоприятствующие событию Н.

Например, событие Н1-"выпало меньше трех очков"-может быть изображено одной заштрихованной фигурой (рис3), а событие Н6-"выпало больше 2 или меньше 5 очков" - двумя фигурами (рис 4).

§4. Операции над случайными событиями

п.1. Отношения между событиями.

Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости.

Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.

Событие А является частью события В состоит в осуществлении трех элементарных событий: "появление 2 очков", "появление 4 очков", "появление 6 очков", а событие А - одним из них – "появление двух очков".

 Скачать реферат