Теория вероятностей на уроках математики

Важно, чтобы ученики видели необходимость обоснования шагов доказательства и умели это делать, ссылаясь на определение несовместных событий и классическое определение вероятности.

После доказательства теоремы целесообразно дать геометрическую интерпретацию выведенной формулы и пояснить: m,n,k – величины площадей нарисованных фигур.

В тетрадях учащимся рекомендуется зафиксировать прави

ло, которое выражается последним равенством и может быть распространено на любое конечное число попарно несовместных событий: вероятность объединение попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

+

Для закрепления этой формулы ученикам предлагается решить ряд задач.

Задача 2. в лотерее выпущено 10000билетов и установлено: 10 выигрышей по 200рублей, 100выигрышей по 100рублей, 500-по 25рублей и 1000 выигрышей по 5рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25рублей?

Решение задачи предполагается учащимися оформить в таблицу, с целью формирования навыка решать задачи по алгоритму.

С целью выявления разнообразных способов решение задач на применение теоремы сложения вероятностей событий предлагаем рассмотреть следующие задачи:

Задача 3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба?

Решая эту задачу по известной схеме учащиеся приходят к выводу, что формула Р(АUB) =P(A) +P(B) не применима, т. к. события в этом испытании совместны.

Для решения сложившийся ситуации учителю рекомендуется предложить учащимся избрать другой путь решения, а именно:

1) обозначить событие с-"выпадение герба не состоялось"

2) найти вероятность этого события Р(С) =i

3) CUC-достоверное событие

4) Р(И) +Р(CUC) =P(C) +P(C) =1-по теореме 1.

5) Р(С) =1-Р(С) =1-1\4=3\4.

Таким образом, учащиеся с помощью учителя устанавливают связь между вероятностями противоположных событий: сумма вероятности двух противоположных событий равна единице.

Доказательство в общем виде учащимся предлагается выполнить самостоятельно, использовать для этого решение задачи.

С целью формирования умения решать задачи с помощью доказанной формулы предлагается решить задачу.

Задача 4. стрелок трижды стреляет по мишени. Вероятность попадания первого выстрела равна 0,4; второго 0,5; третьего 0,7. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание.

Изучение теории о вероятности объединения совместных событий целесообразно провести следующим образом.

Пусть m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующие событию В. Среди m+k событий содержится в таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n-общее число равновозможных элементарных событий, то учащиеся без труда по классическому определению вероятности найдут:

Р(А) =m\n, P(B) =k\n, P(A∩B) =L\n.

Ученикам необходимо пояснить, что запись AUB означает: "произойдет или событие А, или событие В, или и то и другое вместе" и что такому событию благоприятствуют (m+k-L) поэтому P(AUB) =m+k-L\n=m\n+k\n-L\n Подставляя значения получим:

P(AUB) =P(A) +P(B) - P(A∩B)

Школьники должны понять, что эта формула представляет собой обобщение формулы Р(AUB) =P(A) +P(B)

Зафиксировав доказательство теоремы в тетрадь целесообразно дать геометрическую интерпретацию полученной формулы.

Где m,k,L,n - величины площадей изображенных фигур.

Вернемся к задаче 3 и решим ее, пользуясь теоремой о вероятности объединения совместных событий.

Будем продолжать работать по алгоритму.

Для того, чтобы показать, что доказанная теорема справедлива не только для двух совместных событий можно предложить следующие задание.

Задача 5. А, В, С-совместные события. Доказать Р(АUBUC) =P(A) - P(B) - P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) +P(A∩B∩C)

Это задание способствует формированию умений учащихся доказывать вероятностные формулы.

Предлагаем систему задач, основной функцией которой является иллюстрация и закрепление положений теорий (теория о сумме вероятностей совместных событий).

I. (на применении теоремы о вероятности суммы не совместных событий).

1. в урне 30шаров: 10красных, 5синих, 15белых. найти вероятность появления цветного шара.

2. Стрелок стрелял по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,25. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую.

 Скачать реферат