Теория вероятностей на уроках математики

А3-"попадание OS в угол α"

Пусть ОС=r - радиус круга. Тогдa:

Тот факт, что Р(А1) =Р(А2) =Р(А3), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу (х):

если событие А состоит в попадании точки М на отрезок [α; β] при ее бросании наугад на отрезок [а; в] (рис.12), то

Р(А) = β - α÷в-а;

если позиция А состоит в попадании

вектором ОМ в угол α при бросании наугад, когда начало вектора закреплено в точке О (рис13), то Р(А) = α÷2π (в радианах) = α ÷360°(в градусах);

если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании ее наугад в пространство S, то Р(А) =Vт÷Vs

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Определение 3. вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

П.4. Аксиомотическое определение вероятности

Пусть Ω - произвольное пространство элементарных событий, а И – некоторый класс подмножеств множества Ω.

Класс подмножеств И называется алгеброй событий, если Ω в И и если А; ВЄИ, А+ВЄИ, А/ВЄИ при любом АЄИ, ВЄИ. Отсюда следует, что ǿ= Ω\ ΩЄИ. Наименьшей системой подмножеств, является алгеброй, очевидно являясь системой И={d, Ω }. Нетрудно проверить следующие утверждение. Если И – система всех подмножеств множества Ω, то и алгебра, если Ω-конечное множество, то система всех подмножеств будет так же конечным числом.

Пример.

Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте Ω={W1,W2 .,W6}, где Wк обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении k очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. Выпишем все события алгебры И, состоящих из всех подмножеств Ω:

{W1},{W2}, . . {W6};

{W1,W2},{W1,W3}, . . {W5,W6},{W1,W2,W3}, . . .;

{W1,W2,W3,W4,W5,W6}= Ω

В этом примере алгебра и состоит из 2=64 событий. Если множества Ω состоит из N элементов, то число всех подмножеств равно 2N. Действительно, число последовательностей из 0 и 1 длины N равно 2N, а между такими последовательностями и подмножествами Ω можно установить взаимнооднозначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером i из множества Ω включается в подмножество, соответствующее данной последовательности стоит 1.

Определение 4. числовая функция Р, определенная на классе событий И, называется вероятностью, если выполнимы следующие условия:

А1. не является алгеброй событий;

А2. Р(А) ≥0 для любого а АЄИ.

А3. Р(Ω) =1

А4. (аксиома конечной аудитивности)

Если А и В несовместимы, то Р(А+В) =Р(А) +Р(В).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности:

А5. для любой убывающей последовательности А1эА2э…. эАnэ…событий из И такой, что Аn= ǿ имеет место равенство е1m Р(Аn) =0.

Укажите несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2-А4. Из аксиом А3-А4 и равенства А+А= Ω следует, что Р(А) =1-Р(А).

Полагая здесь А= Ω, получим Р(ǿ) =0.

§6. Теоремы о вероятности суммы событий

Определение 1. несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.

Примеры.

появление 1,2,4очков при бросании игральной кости;

попадание и промах при одном выстреле – несовместимые события.

Теорема 1. вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

Р(А+В) =Р(А) +Р(В) (1)

Докажем эту теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности случаев. Для наглядности изобразим их в виде n точек.

m n A k n B

. . . . . . . . . . . . . .

n

Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =m÷n; P(B) =k÷n.

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны m+k случаев И

Р(А+В) =m+k÷n.

Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события А+В буквой Д и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что: Р(А+В+С) =Р(Д+С) =Р(Д) +Р(С) =Р(А+В) +Р(С) =

=Р(А) +Р(В) +Р(С).

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2, . Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2, . . Аn,An+1

Обозначим: А1+А2+…. +Аn=C

Имеем: Р(А1+А2+…. +Аn+An+1) =P(C+An+1) =P(C) +P(An+1).

Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…. +Р(Аn), откуда Р(А1+А2+…+Аn+An+1) =P(A1) +P(A2) + . . P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(∑Аi) =∑P(Ai)

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Предварительно введем вспомогательное понятие.

Определение 2. говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры.

3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

4) попадание и промах при выстреле – полные группы событий.

Следствие 1. если события А1, А2,…Аn, образу4ют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ∑P(Ai) =1.

Доказательство. Так как события А1, А2,…. Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них – достоверное событие.

P(A1+A2+ . +An) =1

Т. к. А1, А2,…. Аn – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.

P(A1+A2, . .,+An) =P(A1) +P(A2) + . . +P(An) = ∑P(Ai),

откуда ∑P(Ai) =1, что и требовалось доказать.

Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятия о "противоположных событиях".

Определение 3. противоположными событиями называются два несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.

Примеры.

5) А-попадание при выстреле;

А-промах при выстреле;

6) В-выпадение герба при бросании монеты;

В-выпадение цифры при бросании монеты – противоположные события.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(А) +Р(А) =1.

Доказательство. Вспомним для доказательства, что А+А=И, Р(И) =1, А*А= ǿ, Тогда по теореме 1 получаем:

1=Р(И) =Р(А+А) =Р(А) +Р(А), что и требовалось доказать.

Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(А).

 Скачать реферат