Теория вероятностей на уроках математики

Пример 7.

Круговая мишень (рис 14) состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим А-промах при выстреле, тогда А-попадание. Тогда А=А1+А2+А3, где А1, А2, А3-непопадание соответственно в первую, вторую, третью зоны.

По теореме 1 Р(А) =Р(А1) +Р(А2) +Р(А3) =

0,15+0,23+0,17=0,55, откуда Р(А) =1-Р(А) =0,45

В ряде случаев приходится вычислять вероятность суммы событий, которые могут быть совместными.

Теорема 2. для любых двух событий справедливо равенство: Р(А+В) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (2)

Доказательство. Событие А состоит из компонент А*В и А*В, а событие в из компонент А*В и А*В. Поэтому А+В=(АВ) +(АВ) +(АВ) +(АВ) =(АВ) +(АВ) +(АВ), и поскольку входящие в это положение компоненты попорио не пересекаются, то

Р(А+В) =Р(АВ) +Р(АВ) +Р(АВ) (3)

С другой стороны имеем Р(А) =Р(АВ) +Р(АВ); и Р(В) =Р(АВ) +Р(АВ), а потому P(A) +P(B) =2P(AB) +P(AB) +P(AB).

Сравнивая эти равенства с (3) получаем доказываемую формулу (2)

Для произвольного числа событий формула выглядит так: Р(∑Ai) = ∑P(Ai) - ∑P(Ai-Aj) + ∑P(AiAjAk) . . +(-1) n-1P(A1A2 . An).

В частности при n=3 имеем: Р(А+В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) +Р(АВС).

§7. Теорема умножения вероятностей

Условная вероятность.

Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей. Стоимость услуг изготовления металлоконструкции.

Перед тем как излагать теорему умножения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.

Определение 1. событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.

Определение 2. событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А является в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.

Примеры.

1) опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

А-появления герба на первой монете

В-появление герба на второй монете

В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.

2) в урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

А-появление белого шара у первого лица

В-появление белого шара у второго лица

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна 2/3. если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной ½, из чего заключаем что событие А зависит от события В.

Определение 3. вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) ≠Р(А).

Сформулируем теорему умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)

Докажем теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям. Изобразим их для наглядности в виде n точек:

…………………………………

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события АиВ несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L. Тогда Р(АВ) = L/n; P(A) =m/n

Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.

Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =L\n

Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.

При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так: Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)

Следствие 1. если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В).

Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А) (2)

Будем предполагать, что Р(А) ≠0.

Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:

Р(АВ) =Р(А) Р(В/А),

Р(АВ) =Р(В) Р(А/В), откуда

Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А/В) или согласно условию (2)

Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А).

Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:

Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.

Следствие 2. если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство:

Р(АВ) =Р(А) Р(В) (3)

Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)

По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(В) Р(А/В). (5)

Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(В), то придем к (3), причем Р(В) ≠0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) следует, Р(А) = Р(АВ) ÷Р(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.

Пример 3.

В урне 2 белых и 3черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

А-появление двух белых шаров.

Событие А представляет собой произведение двух событий:

А=А1А2, где А1-появление белого шара, при первом вынимании, А2-появление белого шара при втором вынимании.

По теоремам умножения вероятности Р(А) =Р(А1) Р(А2/А1) =2\5*1\4=0,1.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.

Определение 4. несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез

п.1. Формула полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем –теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ∑P(Hi) P(A/Hi), (1)

Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2,…Нn образуют полную группу, то событие А может появится только в колебании с какой-либо из этих гипотез.:

А=Н1А+Н2А+…+НnA.

Так как гипотезы Н1, Н2,… Нn, несовместны, то комбинации Н1, А1, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А) =Р(Н1А) +Р(Н2А) +…+Р(НnA) = ∑P(Hi) P(A/Hi), что и требовалось доказать.

 Скачать реферат