Страница
12
Через - обозначим разность
. Так как
-холловские подгруппы
из
и
th=21 height=24 src="images/referats/11745/image329.png">из
нормальны в
и
соответственно, то
-
-холловская в
подгруппа. Если
, то
сверхразрешима по лемме 6. Пусть
. Для любого элемента
имеем:
и по лемме 4 либо
, либо
. Если
, то из минимальности
получаем, что
и
централизует
, что невозможно. Значит,
и
. Но в
единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому
и
делит
. Но если
, то
нормальна в
, противоречие. Значит,
.
Так как сверхразрешима и
-
-холловская подгруппа в
, то
нормальна в
и по лемме Фраттини
содержит силовскую 2-подгруппу
из
. Ясно, что
. Подгруппа
ненормальна в
, значит,
, но теперь
нормальна в
и нормальна в
, противоречие. Теорема доказана.
Теорема 3 . Пусть конечная группа , где
- циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа
содержит циклическую подгруппу индекса
. Если в
нет нормальных секций, изоморфных
, то
сверхразрешима.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима, а так как условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга
- единственная минимальная нормальная в
подгруппа. Если
- 2-группа, то
содержится в
и поэтому порядок
равен 4, a
изоморфна подгруппе группы
. Если силовская 3-подгруппа
из
неединична, то
действует на
неприводимо и
- нормальная в
подгруппа, изоморфная
, противоречие. Если
, то
- 2-группа и
сверхразрешима.
Следовательно, -
-группа порядка
. Так как силовская
-подгруппа в
метациклическая по теореме III.11.5, то
- элементарная абелева порядка
и
изоморфна подгруппе из
, в которой силовская
-подгруппа имеет порядок
. Так как
для некоторой максимальной в
подгруппы
, то из леммы 1 получаем, что
- силовская в
подгруппа и можно считать, что
, где
, a
.