Страница
12

Произведение двух групп

Через - обозначим разность . Так как -холловские подгруппы из и th=21 height=24 src="images/referats/11745/image329.png">из нормальны в и соответственно, то - -холловская в подгруппа. Если , то сверхразрешима по лемме 6. Пусть . Для любого элемента имеем: и по лемме 4 либо , либо . Если , то из минимальности получаем, что и централизует , что невозможно. Значит, и . Но в единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому и делит . Но если , то нормальна в , противоречие. Значит, .

Так как сверхразрешима и - -холловская подгруппа в , то нормальна в и по лемме Фраттини содержит силовскую 2-подгруппу из . Ясно, что . Подгруппа ненормальна в , значит, , но теперь нормальна в и нормальна в , противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа содержит циклическую подгруппу индекса . Если в нет нормальных секций, изоморфных , то сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима, а так как условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга - единственная минимальная нормальная в подгруппа. Если - 2-группа, то содержится в и поэтому порядок равен 4, a изоморфна подгруппе группы . Если силовская 3-подгруппа из неединична, то действует на неприводимо и - нормальная в подгруппа, изоморфная , противоречие. Если , то - 2-группа и сверхразрешима.

Следовательно, - -группа порядка . Так как силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, то - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем, что - силовская в подгруппа и можно считать, что , где , a .

 Скачать реферат