Произведение двух групп

Пусть теперь изоморфна - простое нечетное число. Тогда , где и , где

- силовская -подгруппа из и . Из леммы 2 получаем . Так как в все инволюции сопряжены и имеет четный порядок, то по лемме 4 подгруппа имеет нечетный порядок, в частности не делит .

Предположим, что существует простое число , делящее и . Если , то по лемме 2.5 порядок делит , а так как , то делит . Если , то делит и элементарные вычисления и применение леммы 2.5 показывают, что делит . Так как , то в любом случае . Известно, что , поэтому и . Противоречие с леммой 2.5.

Следовательно, не может быть изоморфна . Случай, когда порядок четен, рассмотрен полностью.

Пусть порядок подгруппы нечетен. Тогда содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из . По теореме О'Нэна подгруппа изоморфна или и нечетное число.

Пусть изоморфна .Тогда и делит . Поэтому содержит силовскую 2-подгруппу из и, используя информацию о подгруппах в , получаем, что делит , a делит или . Теперь делится на , которое делится на или на . Противоречие.

Пусть изоморфна . Так как имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа из содержится в . Если , то и по лемме 3.3 имеем . Если , то нормальна в , так как разрешимая группа с силовской 2-подгруппой имеет 2-длину 1. Итак, в любом случае . Но дважды транзитивна на смежных классах по , поэтому и нормальна в .

Поскольку и . Кроме того, , поэтому - нечетное число, делящее . Так как - циклическая группа нечетного порядка в , то либо делит , либо делит . Поэтому делится на , либо на . Очевидно, при . Случай исключается непосредственно. Следовательно, неизоморфна .

 Скачать реферат