Произведение двух групп

3.2 Доказательства теорем 1 и 2

Доказательство теоремы 1 . Предположим, что теорема неверна и пусть - контрпример минимального порядка. Так как , то src="images/referats/11745/image468.png">и по лемме 3.

Допустим, что не максимальна в и пусть - прямое произведение минимальных нормальных в подгрупп и - наибольшее. Очевидно, содержит все минимальные нормальные в подгруппы. Так как , то и . Поэтому изоморфна подгруппе из .

Допустим, что для некоторого . Тогда и разрешима. Значит, . Пусть - подгруппа в , собственно содержащая . Так как и - нормальная в неединичкая подгруппа, то . Теперь минимальная нормальная в подгруппа из совпадает с и , противоречие. Таким образом, для любого . По индукции изоморфна подгруппе , где - есть прямое произведение, построенное из групп . Очевидно, что , поэтому также есть прямое произведение, построенное из групп . Следовательно, обладает этим же свойством и - подгруппа из . Противоречие.

Итак, максимальна в . Поэтому представление перестановками на множестве смежных классов подгруппы будет точным и примитивным. Так как , то в этом представлении регулярна и дважды транзитивна. Пусть минимальная нормальная в подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что проста и примитивна, т.е. максимальна в . Так как , то разрешима и по лемме 5. Таким образом, изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда неразрешима, и . Так как , то по индукции изоморфна подгруппе из , а или и из заключения теоремы. Следовательно, и по лемме 2.

Пусть порядок четен. Тогда содержит подгруппу индекса 2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа 2-транзитивна и изоморфна - степень нечетного простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях. Если , то из заключения теоремы. Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому не содержится в группе автоморфизмов группы типа Ри.

 Скачать реферат