Произведение двух групп

Таким образом, если - произвольная инвариантная в подгруппа, то .

Пусть , - инвариантная силовская -подгруппа, - силовская -подгруппа. Через обозначим циклическую подгруппу в , для которой . Допустим, что . В этом случае и если - подгруппа индекса 2 в , то - циклическая подгруппа индекса 2 в . По теореме 1 группа разрешима. Противоречие. Значит, . Теперь, если в есть инвариантная подгруппа четного индекса, то есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.

Следовательно, и в нет инвариантных подгрупп четного индекса.

Допустим, что , тогда - группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа из является силовской подгруппой в и по результату В. Д. Мазурова группа диэдральная или полудиэдральная. Если диэдральная, то по теореме 16.3 группа изоморфна или подгруппе группы . Так как не допускает требуемой факторизации, то следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит, - полудиэдральная группа. Если - центральная инволюция из , то , поэтому и разрешима. По теореме Мазурова группа изоморфна или . Нетрудно проверить, что и не допускают требуемой факторизации. Значит, .

Пусть - максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда, если , то и содержит подгруппу , инвариантную в по лемме Чунихина. В этом случае, и . Противоречие. Следовательно, .

Допустим, что не является силовской 2-подгруппой в . Тогда немаксимальна в , а так как и , то по лемме 2 порядок нечетен. Теперь и содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.

Таким образом, - силовская 2-подгруппа группы . Теперь, и - максимальная в подгруппа. Представление подстановками смежных классов по дважды транзитивное и по лемме 3 порядок центра нечетен. Отсюда следует, что - абелева группа.

Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа. Группа не является -группой, поэтому некоторая силовская в подгруппа циклическая и - простая группа. Теперь можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа и нормализатор силовской 2-подгруппы имеет порядок , a , то изоморфна , где или . Фактор-группа разрешима, поэтому и изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

 Скачать реферат