Страница
15

Произведение двух групп

Пусть - подгруппа Фиттинга группы , где . Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в имеет порядок , поэтому . Так как разрешима, то и изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда делит порядок , а значит и . Но это невозможно, так как . Противоречие.

Следовательно, . Далее , так как - подгруппа нечетного порядка, поэтому . Ясно, что , a и . Силовская 2-подгруппа из является силовской в , значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен порядка . Поэтому . как подгруппа из полудиэдральна при , либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок не делится на 9. Таким образом, . Противоречие. Итак, не содержит подгруппы индекса 13.

Пусть , где - разрешимая подгруппа, а - циклическая. В силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок . Так как в нет - холловской подгруппы, то 3 делит порядок . Но в силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в есть подгруппа порядка . Теперь силовская 13-подгруппа из не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.

Теорема 3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая, то есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

Доказательство. Из простоты и леммы Чунихина вытекает, что и максишльна в . Представление группы перестановками на смежных классах подгруппы будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку . Так как - регулярная и транзитивная группа и , то также транзитивна. Но по теореме 1.6.5, поэтому самоцентрализуема в .

Группа автоморфизмов , индуцированная элементами из , называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно , а по теореме 3 подгруппа нормальна в и - элементарная абелева 2-группа.

По лемме Фраттини , поэтому обозначив будем иметь . Так как , то изоморфна секции из . В частности, если циклическая, то абелева и есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

 Скачать реферат