Произведение двух групп
Пусть - подгруппа Фиттинга группы
, где
. Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в
имеет порядок
, поэтому
. Так как
разрешима, то
и
изоморфна подгруппе из
.
Предположим, что . Тогда
делит порядок
, а значит и
. Но это невозможно, так как
. Противоречие.
Следовательно, . Далее
, так как
- подгруппа нечетного порядка, поэтому
. Ясно, что
, a
и
. Силовская 2-подгруппа
из
является силовской в
, значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен
порядка
. Поэтому
.
как подгруппа из
полудиэдральна при
, либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок
не делится на 9. Таким образом,
. Противоречие. Итак,
не содержит подгруппы индекса 13.
Пусть , где
- разрешимая подгруппа, а
- циклическая. В
силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок
. Так как в
нет
- холловской подгруппы, то 3 делит порядок
. Но в
силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в
есть подгруппа
порядка
. Теперь силовская 13-подгруппа из
не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.
Теорема 3 . Если - простая группа, где
- холловская собственная в
подгруппа, а
- абелева
-группа, то
есть расширение группы, изоморфной секции из
, с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если
циклическая, то
есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
Доказательство. Из простоты и леммы Чунихина вытекает, что
и
максишльна в
. Представление группы
перестановками на смежных классах подгруппы
будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку
. Так как
- регулярная и транзитивная группа и
, то
также транзитивна. Но
по теореме 1.6.5, поэтому
самоцентрализуема в
.
Группа автоморфизмов , индуцированная элементами из
, называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно
, а по теореме 3 подгруппа
нормальна в
и
- элементарная абелева 2-группа.
По лемме Фраттини , поэтому обозначив
будем иметь
. Так как
, то
изоморфна секции из
. В частности, если
циклическая, то
абелева и
есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах