Произведение двух групп
1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса
Доказывается, что конечная группа разрешима, если группы
и
содержат циклические подгруппы индексов
. Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.
В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве множителей
и
еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана
Теорема 1 . Если и
- группы с циклическими подгруппами индексов
, то конечная группа
разрешима.
Если подгруппа нильпотентна, а в
есть циклическая подгруппа индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа
разрешима. Дополнением этого результата являются теоремы 2 и 3.
Теорема 2 . Пусть - группа Шмидта, а
- группа с циклической подгруппой индекса
. Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
, содержащей
, для подходящего
.
обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в
подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.
Теорема 3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа
имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
, содержащей
, для подходящего
.
Частным случаем теоремы 3, когда - абелева, а
имеет порядок
,
- простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.
Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.
Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.
Вначале докажем несколько лемм.
Лемма 1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса
. Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.
Лемма 2 . Пусть ,
- собственная подгруппа группы
,
- подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если
, то
содержит подгруппу индекса 2.
Доказательство. Если содержит инвариантную в
подгруппу
, то фактор-группа
удовлетворяет условиям леммы. По индукции
обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в
есть подгруппа индекса 2.
Пусть не содержит инвариантных в
подгрупп
. Тогда представление группы
подстановками правых смежных классов по
есть точное степени
, где
. Группу
можно отождествить с ее образом в симметрической группе
степени
. Так как в
силовская 2-подгруппа
циклическая, то
, где
- инвариантное 2-дополнение. Пусть
,
.
,
и
. Подстановка
разлагается в произведение циклов
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах