Произведение двух групп
Предположим, что - нечетное и
. Так как
- стабилизатор точки и
разрешима индекса
, то
, либо
. Группа
не допускает требуемой факторизации по лемме 9. Поэтому либо
, либо
. Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2 . Пусть - 2-нильпотентная группа и
- ее силовская 2-подгруппа,
- циклическая. Очевидно, мы можем считать, что
. Пусть
- максимальная в
подгруппа, содержащая
. Так как
, то
. Предположим, что
. Тогда
и группа
непроста. Если порядок
нечетен, то по индукции
разрешима и
, противоречие. Таким образом,
, кроме того,
максимальна в
. Теперь
- дважды транзитивна на множестве смежных классов по
. Если порядок
четен, то группа
непроста по лемме 4.1. Пусть порядок
нечетен. Тогда
- силовская в
подгруппа. По теореме Виландта-Кегеля
, а по лемме 3.3
и
2-разложимая подгруппа. По теореме 1V.2.6 подгруппа
неабелева. Так как из теоремы 1 в случае, когда порядок
нечетен следует, что силовская 2-подгруппа в
абелева, то имеем противоречие. Теорема доказана.
Симметрическая группа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 и циклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядка циклического фактора существенно.
Заключение
В данной курсовой работе были приведены некоторые результаты, полученные Монаховым В. С. (Гомельская лаборатория института математики), проливающие свет на такие важные вопросы в теории конечных групп, как разрешимость и сверхразрешимость конечных групп, являющихся произведением двух групп с различными свойствами, а именно содержащих циклическую подгруппу индекса , содержащих циклические подгруппы индекса 2, разрешимые и циклические группы.
Эти полученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и 3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые были использованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следует выделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3, являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.
Список использванных источников
1. Монахов В.С. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса .// Математические заметки.-1974.-Т.16, №2-с. 285-295
2. Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195
3. Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах