Произведение двух групп
Пусть - минимальная инвариантная в
подгруппа и
- силовская 2-подгруппа из
, которая содержится в
. Так как
, то
неразрешима и
. Подгруппа
даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.
Пусть вначале . Тогда
и
неабелева. По теореме П. Фонга из группа
диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях
. Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.
Предположим теперь что . Тогда
- элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если
абелева, то
или группа Янко
порядка 175560. Так как
неабелева, то
и индекс
в
четен. Группа
разрешима, поэтому
и
или
. Ho
группа порядка 3, a
. Противоречие. Если
- диэдральная группа порядка 8, то
- нечетное простое число или
. Но группы
и
не допускают нужной факторизации, поэтому
- собственная в
подгруппа. Теперь
или
. Если
, то
- диэдральная группа порядка 16, а так как
, то
. Противоречие. Если
, то
и в
существует подгруппа порядка
или
.
Пусть, наконец, . Тогда
и
. Так как фактор-группа
разрешима по индукции, то
и
. Используя самоцентрализуемость силовской
-подгруппы в
, нетрудно показать, что
не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа - контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая
-группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что
. Пусть
- произвольная минимальная инвариантная в
подгруппа. Если
, то
, а так как
- нильпотентная группа, то
разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и
. Противоречие. Значит,
, в частности,
разрешима. Допустим, что
. Тогда
и
удовлетворяет условиям леммы. Поэтому
изоморфна подгруппе группы
, содержащей
для подходящего
. Так как
есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то
и
. Отсюда
. Подгруппа
инвариантна в
так как
, то
разрешима и
. Теперь
изоморфна некоторой группе автоморфизмов
, т. е.
из заключения теоремы. Противоречие. Значит,
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах