Произведение двух групп
Доказательство теоремы 3 . Пусть группа - контрпример минимального порядка,
- циклическая подгруппа в
и
, где
="images/referats/11745/image150.png">. Пусть
, где
- силовская 2-подгруппа
, а
- ее 2-дополнение в
. Если
- силовская 2-подгруппа
, то
и
разрешима по теореме Ведерникова. Противоречие. Теперь
можно считать силовской 2-подгруппой группы
.
Предположим, что . Фактор-группа
и
- 2-разложимая группа. Очевидно, что циклическая подгруппа
нечетного порядка инвариантна в
и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа
разрешима по лемме 5, поэтому разрешима и
. Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что
, получаем: группа
изоморфна подгруппе
, содержащей
для некоторых
. Противоречие. Следовательно, в
нет разрешимых инвариантных подгрупп, отличных от единицы.
Теперь покажем, что силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 4 или 8. Если
, то
, и так как
неразрешима, то
диэдральная. Пусть
не содержится в
.
Предположим, что и пусть
, где
- инволюция из
. Теперь
и
. Пусть вначале
и
максимальна в
. Тогда
- дважды транзитивная группа на множестве смежных классов по подгруппе
: если
- простое число; если
- непростое число. Из леммы 3 получаем, что
. Противоречие. Пусть
- максимальная в
подгруппа, которая содержит
. Тогда
и
. Кроме того,
. Пусть
- минимальная инвариантная в
подгруппа, которая содержится в
,
существует по лемме Чунихина, а так как
, то
, а следовательно, и
неразрешимы. По индукции
изоморфна подгруппе
, содержащей
, для некоторых
. Все инвариантные в
подгруппы неразрешимы, поэтому
, а так как
- минимальная инвариантная в
подгруппа, то
. B силу леммы 5
, поэтому
разрешима. Но тогда
и
изоморфна группе автоморфизмов группы
, т. е.
из заключения теоремы. Противоречие.
Значит, , поэтому
не содержит инвариантных в
подгрупп, отличных от 1. Следовательно, представление группы
подстановками смежных классов по подгруппе
точное степени 4. Отсюда группа
есть группа диэдра порядка 8.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах