Некоторые задачи оптимизации в экономике

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции y=f(x1,x2), т. е частные производные равны нулю, называются стационарными.

Равенство нулю частных производных выражает лишь необходимое условие, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть функция y=f(x1,x2):

a) определена в некоторой окрестности стационарной точки (), в которой ()=0 и ()=0;

b) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго поряка()=А,()=()=В,()=С.

Тогда, если =АС-В2 >0, то в точке () функция имеет экстремум, причём, если А>0 минимум, А<0 – максимум. В случае =АС-В2 <0, функция y=f(x1,x2) экстремума не имеет. Если =АС-В2 =0, то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым. Требуются другие методы определения экстремума. [11]

В экономических задачах чаще встречаются задачи на условный экстремум. Перейдем к рассмотрению таких задач.

3. Задача математического программирования (ЗМП).

1) Общая постановка задачи

В теории экстремума на независимые переменные x1,x2, …,хn не накладываются никакие дополнительные условия, т.е. не требуется, чтобы переменные удовлетворяли некоторым дополнительным ограничениям.

Рассмотрим другую задачу. Найти максимум (минимум) функции y=f(x1,x2, …,хn), при условии, что независимые переменные x1,x2, …,хn удовлетворяют системе ограничений:

g1(x1,x2, …,хn) ≤b1,

…………………………

gm(x1,x2, …,хn) ≤bm,

gm+1(x1,x2, …,хn) ≥bm+1,

…………………………

gk(x1,x2, …,хn) ≥bk, (3.1)

gk+1(x1,x2, …,хn) =bk+1,

…………………………

gp(x1,x2, …,хn) =bp,

x1,x2,…,хn ≥0.

Функцию y=f(x1,x2, …,хn) принято называть целевой, т.к. её максимизация (минимизация) часто есть выражение какой-то цели, систему ограничений (3.1) – специальными ограничениями ЗМП, неравенства x1≥0 ,x≥02, …, хn≥0 – общими ограничениями ЗМП. Множество всех допустимых решений ЗМП (хj≥0, j=) называется допустимым множеством этой задачи.

Точка () называется оптимальным решениемдля функции двух переменных, если, во-первых, она есть допустимое решение этой ЗМП, а во-вторых, на этой точке целевая функция достигает максимума (минимума) среди всех точек, удовлетворяющих ограничениям (3.1), причём

f ()≥ f(x1,x2)(в случае решения задачи на отыскание максимума),

f () ≤ f(x1,x2) (в случае решения задачи на отыскание минимума).

Если в ЗМП все функции f(x1,x2, …,хn), gi(x1,x2, …,хn) линейны, то имеем задачу линейного программирования (ЗЛП), если хотя бы одна из функций нелинейная, имеем задачу нелинейного программирования (ЗЛП). Рассмотрим ЗЛП.

2) ЗЛП и способы её решения.

ЗЛП имеет вид F=c1x1+c2x2+…+cnxn+c0→min(max). При этом переменные должны удовлетворять ограничениям:

а11х1+ а12х2+…+а1nхn≤b1

…………………………

аm1х1+ аm2х2+…+amnxn≤bm

аm+11х1+ аm+12х2+…+аm+1nхn≥bm+1

…………………………

аk1х1+ аk2х2+…+аknхn≥bk (3.2)

аk1+1х1+ аk+12х2+…+аk+1nхn=bk+1

………………………….

аp1х1+аp2х2+…+аpnхn=bp

x1,x2,…,хn ≥0.

ЗЛП может быть записана в различных формах:

Общий вид: найти минимум (максимум) целевой функции F при ограничениях (3.2) и условии неотрицательности переменных.

Стандартный вид: найти минимум (максимум) целевой функции F и ограничениях, заданных в виде неравенств и добавлены условия о неотрицательности переменных.

Канонический вид: вид, в котором нужно найти минимум (максимум) целевой функции F, где все ограничения заданы в виде равенств и есть условие неотрицательности переменных.

Стандартную задачу можно привести к каноническому виду, путём введения дополнительных неотрицательных переменных. Т.е. свести к системе m линейных уравнений с n переменными.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m<n) называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными или (свободными).

Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называют решение, в котором все m-n неосновных переменных равны нулю.

Для обоснования свойств ЗЛП и методов её решения, рассмотрим 2 вида записи канонической задачи.

1 вид – матричная форма записи: С=(c1,c2…cn,c0).

Х= А= В= (3.3)

 Скачать реферат