Операция над множествами как основа обучения арифметическим действиям над целыми неотрицательными числами

Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, то есть когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок перечислялось уже не одно яблоко, два яблока и т.д., а проговаривали сло

ва «один», «два», «три» и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятие числа. Вот как об этом говорил крупнейший математик современности Н.Н. Лузин: «Мы должны склониться перед гением человека, созданию (не открывшего, а создавшего) понятие единицы. Возникло число, а вместе с ним возникла Математика . Идея числа – вот с чего начиналась история величайшей науки»

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Многие трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понятие нуля. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел .

После того как понятие натурального числа сформулировалось числа стали самостоятельными объектами и появилась возможность изучать их как математические объекты. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика».

Арифметика возникла в странах Древнего Востока, Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Турции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математике Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с 13 века –европейские ученые.

Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций. В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются разделом математики, носящим название «теории чисел». В 19 веке внимание ученых было обращено на построение и логическое обоснование математических теорий натурального числа, т. е. тех теорий, которые лежат в основе вычислений с натуральными числами.

За счетную группу, или основание системы счисления, можно применять любое число. Это положение явным образом было высказано французским математиком Б. Паскалем в 1665 году. Некоторое из систем счисления, основания которых отличны от десяти, употреблялись или предлагались в разное время. Естественным является предложение, что до того как человек принял к десятичному счислению, он пользовался при счете пальцами одной руки. Это привело его к созданию пятеричного счисления. Следы пятеричной системы счисления которой пользовались когда-то, вероятно все народы, сохранились в римской письменной нумерации. С несомненностью можно установить ясные следы пятеричного счисления у чукчей. Вот что сообщает о них уже не раз цитированный писатель Т. Семушкин, который работал ряд лет у чукчей: «Уроки арифметики чукотские дети любили не менее « разговора по бумажке» (чтения и письма). Но здесь помехой является их обычный счет пятерками, по числу пальцев на каждой руке и ноги. Взрослые чукчи таким счетом пользуются очень хорошо в пределах тысячи. Они редко ошибаются, хотя считают довольно долго. Для большого удобства они иногда снимают обувь, и счет производится на двадцати пальцах рук и ног. Пять человек составляют сотню.

Двоичная система счисления как самая простая существовала, по- видимому, вначале у всех народов. При помощи черточек и пар точек в те времена записывали числа от нуля семи смысл этой таблички указал Лейбниц (1646-1716 гг.), который рекомендовал миссионерам, сообщившим ему эту запись использовать двоичную систему нумерации для обращения китайцев в христианство: христианская религия, по которой человек-нуль, ничто рядом с богом – единицей, должна быть по душе китайцам, в системе счисления которых фигурировали только знаки для 0 и 1.

Итак, путь развития числа и счета очень сложный и для этого понадобилось несколько тысячелетий. Развитию чисел способствовало потребность числа в практической деятельности. В математике вначале было не число, а множество. В глубокой древности, чтобы считать предметы, устанавливали сравнение или между одним из множеств, или подмножеством другого множества предметов, т.е.человек воспринимал численность множества предметов без счета их. Например, о численности из пяти предметов он говорил: «Столько же, сколько пальцев на руке». Такой метод обладал недостатком: сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы. Со временем люди нашли то общее, что существует между пятью пальцами и пятью камешками. Возникло представление о натуральном числе. Когда считали, они проговаривали «один», «два», «три», «четыре», и т. д. После того как понятие натурального числа сформировалось, числа стали самостоятельными. Затем появилась возможность изучать их как математические объекты. В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучается разделом математики, носящим название «теория чисел».

Теоретико-множественный смысл понятия числа и арифметических действий над ними

Чтобы понять, что такое натуральные числа, приведем такой пример. Между людьми имеются отношения, которые обозначаются словом «дружба». Каждый из вас должно быть, имеет друга или несколько друзей, и вам поэтому известно и понятно, что представляет собой это отношение. Но заметьте: имеется (существует), во-первых, отношения между людьми, называемое дружбой, во-вторых, наше (общечеловеческое) представления об этом отношении, имеется, в-третьих, слово обозначающее это отношение и наше представление о нем, и, наконец, имеется запись этого слова на каком-то языке (на русском, на немецком и т.д.). Примерно также обстоит дело с натуральными числами. Имеется свойства множеств предметов, состоящие в том, что все множества предметов можно разделить на классы, объединив в одном классе все множества, одинаковые по количеству предметов, также человечество исторически на протяжении многих веков выработало (создало) общечеловеческое (т.е. одинаковое для всех людей) представление об этих свойствах множеств предметов (подобные представления в науке называют моделями свойств). Эти представления и есть сами натуральные числа. Затем каждый народ разработал систему устной нумерации и письменной нумерации (которая принята большинством народов).

В основе устной нумерации всех народов лежит идея группового счета, т.е счета предмета не по одному, а одинаковыми группами из этих предметов. Если нас в первую очередь интересует установление количества предметов в данном множестве, то указывая каким-либо образом на каждой из предметов множества, мы произносим названия натуральных чисел один, два, три и т.д. Конечно, при этом важно не пропустить ни один из предметов, и не сосчитать один и тот же предмет дважды. Если это выполнено, то, указав на последний предмет, мы называем натуральное число, которое указывает количество предметов в перечисляемом множестве. Если, например, указав на последний предмет, мы произносим «восемь», то это значит, что количество предметов в этом множестве равно 8. Значит, это множество содержит 8 элементов.