Операция над множествами как основа обучения арифметическим действиям над целыми неотрицательными числами

Практическая значимость: изученный мною вопрос по применению элементов множества при обучении поможет мне в дальнейшей учительской работе, как правильно и разумно применять элементов множества на уроках математики.

Данная дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, приложения.

Число как результат количественного сравнения совокупностей

предметов

Математика, как и все другие науки, возникла из потребностей деятельности людей. На очень ранней ступени развития человека возникла необходимость подсчитывать количество добычи или урожая, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счет времени. Для удовлетворения этих практических потребностей возникли примитивные способы счета и измерения, т. е. начало арифметики и геометрии.

При дальнейшем развитии общества усложнялись практическая деятельность человека, вместе с ней росли потребности в усовершенствованных приемах счета и измерений. Первоначальный счет по пальцам и измерения при помощи размеров частей тела человека (пядь, локоть) не могли уже удовлетворять потребностям жизни. Возникла необходимость в более быстрых и более точных приемах счета и измерений. Продолжительный опыт привел человека к установлению некоторых общих правил, дающих возможность при счете конкретных предметов не прибегать в каждом отдельном случае к перечислению и перекладыванию этих предметов. Постепенно человек приобрел способность отвлечения, абстрагирования от конкретного счета. Многолетняя практика каждого народа еще в древности выработала оснавные понятия измерения – арифметики и геометрии. В дальнейшей тысячелетии практический опыт применения этих понятий, дополняя первоначальный запас сведений о способах счета и измерения, привел к новым абстракциям, к усовершенствованию приемов арифметики и геометрии. Возникают новые, более совершенные возможности познания количественных отношений предметов и явлений окружающего мира и вместе с тем возможность использования этого познания в трудовой деятельности. Человек от живого созерцания окружающего мира переходит к абстрактному мышлению о явлениях этого мира. Благодаря этим абстракциям человек вникает более глубоко закономерностям мира, получает возможность более плодотворного использования своих знаний для практической деятельности .

Возникновение понятий счета и натурального числа из практической деятельности и долгий опыт их применения создают у человека уверенность правильности выводов, полученных путем абстрактного мышления (22, 5-7).

Чтобы понять, откуда взялись натуральные числа и что они собой представляют, надо разобраться в том, что такое счет предметов.

Потребность в счете предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством ( совокупностью, группой ) предметов и нам нужно решить такие задачи:

1. Установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти непосредственную количественную оценку этого множества .

2. Установить определенный порядок между предметами этого множества.

Перед человеком в его практике все время возникала необходимость иметь дело с совокупностями вещей, сравнивать их численность. Он воспринимал численность совокупности вещей без счета их. О численности группы пяти вещей он говорил: “столько же, сколько пальцев на руке”, и т. д. Отвлеченных понятий чисел “пять”, “двадцать” у человека долго не было. Анологично этому человек, не имея отвлеченных понятий “чернота”, ”твердость”, говорил о предметах: “как ворон” (черный), “как камень” (твердый). В результате очень долгого периода развития человек пришел к понятию того, что совокупности “пять пальцев”, “пять собак”, “пять домов” имеют некоторое общее свойство, которое можно выразить с помощью понятия отвлеченного числа ”пять”. Все сказанное к следующему определению числа : “каждое отдельное число, как “два“, “пять” и т. п., есть свойство совокупностей предметов, общее для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, и различное у таких совокупностей, для которых такое сопоставление невозможно”. Итак, согласно сказанному перед человеком в его практике возникла задача количественного сравнения совокупаностей предметов. Нам теперь кажется, что для такого сравнения надо сосчитать предметы в одной и другой совокупностях и сравнивать полученные числа. Возникает вопрос, необходимо ли было возникнуть сначала понятие числа, чтобы появилось возможность устанавливать количественные соотношения между совокупностями объектов? На этот вопрос приходится отвечать отрицательно. Ребенок, который еще не умеет считать до пяти может установить, что у него пальцев на обеих руках одинаковое количество. Он может сопоставить пальцы обеих рук и убедиться в этом. Примитивный человек из лесов Центральной Африки умел считать в крайне ограниченных пределах, скажем, только до трех, но, несмотря на это, он уверенно обменивал большое количество слоновых клыков на пачки табака, не боясь быть обманутым заморскими купцами.

Для этого он сопоставлял количество клыков с каличеством пачек табака, укладывая рядом каждый клык с пачкой табака и таким образом убеждался в равночисленности обмениваемых совокупностей предметов.

Описание такой картины счета при обмене, более близкой нам и по времени, и по месту, мы находим в художественной литературе. Так, например, советский писатель–этнограф Г. Гор записывает слова представителя маленького народа северного Сахалина: «Был у нас старик. Не знал, сколько ему лет. Решил начать счет. Год пройдет - рыбью голову в амбар положит. Опять год пройдет - опять голову и так далее» История возникновения и эволюции у человека представления о натуральном ряде охватывает данные из всех областей истории культуры – способов производства, языка, литературы, верований и т. д.

Свидетельства этнографов убеждают нас в том, что до сих пор существуют племена, не имеющие числительных, кроме один, два, три. Более многочисленная группа предметов у них характеризуется словами «много», «куча», «тьма». Эскимос знает и хранит в памяти не числа своих собак, а индивидуальные особенности каждой, подобно тому как ребенок, не умеющий еще считать, представлять свои куклы игрушки по их признакам. Счет, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы подсчитываемого множества сопоставляются, т. е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определенной совокупности. У большинства народов такой стандартной совокупности служили пальцы рук, а иногда пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки на дереве, узелки на верёвках, применялись некоторые предметы, например раковины, бобы и т. д. Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индийские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, они называли много. При этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и т.д. вот почему для называния числа «два» или «три» использовались разные слова в зависимости от того, о каких двух или трех предметах шла речь.