Методы решения задач на построение

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию»,

«Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Объектом исследования квалификационной работы является процесс обучения геометрии.

Предмет исследования – различные методы решения задач на построение.

Цель данной работы – разработка обучающего модуля по теме «Методы решения задач на построение». Предлагается способ формирования у учащихся знаний и умений через решение системы геометрических задач на построение (коструктивных задач) с помощью различных методов.

Наиболее эффективным способом формирования умений является подбор специальных задач. Кажущаяся простота конструктивной задачи только усиливает к ней интерес учащихся, желание найти решение, которое порой требует умственного напряжения и изобретательности.

Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовем основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий, лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Пересечением или общей частью двух или нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.

Разностью двух фигур Фи Фназывается совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат фигуре Ф.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.

Раздел геометрии в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием коструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными ее элементами».

Представим себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА. Точно так же, если построен луч АМ некоторой прямой (рис. 2), а затем луч ВN считается, что построена прямая МN, той же прямой, то, естественно, являющаясч соединением этих лучей. Эти примеры разьясняют смысл следующего постулата:

Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: АВ и СD. Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок СD целиком отрезку АВ (рис. 3а) или нет (рис. 3б). Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет.

Третье основное требование теории геометрических построений можно выразить следующим образом:

3. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

Пусть А, В, С, D – четыре точки прямой (рис. 4). Допустим, что отрезки АВ и СD построены. Тогда мы, конечно, будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВD, так и отрезок СD, который является разностью отрезков ВD и АС.

4. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

5. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.