Методы решения задач на построение

Ученики: на продолжении отрезка КА построить АN = KA и достроить до параллелограмма.

Построение.

а) AN = AK;

б) Ð 1 = Ð 2 (NP È KP = P);

в) MP = KM;

г) MP – искомая.

3) Доказательство.

∆ КМА = ∆ APN (Ð 1 = Ð 2, KA = AN, Ð 5 = Ð 6).

4) Исследование:

МР – единственная прямая, так как точка А (как точка пересечения диаг

оналей) определена единственным образом.

Домашнее задание: Нерешённые задачи на дом;

Повторение этапов решения задачи.

Занятие 3

Тема: Решение задач на построение методом пересечения фигур

Цели: 1. Продолжать формирование этапов решения конструктивной задачи;

2. Выделить метод геометрического места точек.

Оборудование: Чертёжные инструменты.

Методы и средства:

Рассказ учителя;

Совместное решение задач;

Самостоятельное решение задач.

План-конспект уроков:

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Вопросы для контроля:

Перечислите основные построения циркулем и линейкой;

Перечислите основные элементарные задачи;

Из каких основных этапов состоит решение задачи на построение?

Что нужно показать в исследовании?

Объяснение нового материала.

Преподаватель: Сущность метода пересечений состоит в следующем:

Задачу сводят к построению одной точки (основной элемент построения), которая удовлетворяет двум условиям a1 и a2.

Пусть Ф1 – множество точек, удовлетворяющих условию a1, а Ф2 – удовлетворяющих a2. Тогда точка x будет являться пересечением двух множеств точек Ф1 и Ф2. Чтобы построить точку x необходимо, опустив условие a2, построить множество точек Ф1, удовлетворяющих условию a1, затем, опустив условие a1, построить множество точек Ф2, удовлетворяющих a2. Пересечение этих двух множеств точек и будет искомый элемент x.

Рассмотрим пример:

Задача 1 (решается вместе с преподавателем)

Построить окружность данного радиуса r, проходящую через данную точку А и касающуюся данной прямой d.

Анализ. Предположим, что задача решена и окружность (О, r) построена.

Так как радиус этой окружности дан, то мы сможем её построить, если будет построен её центр О. Точка О удовлетворяет двум условиям:

а) r(О, r) = r;

б) r(O, d) = r.

Условие а) определяет фигуру S (A, r), а условие б) d1 и d2 – такие прямые, что r(d1, d) = r(d, d2) = r

Построение:

S (A, r);

прямые d1 и d2:r(d1, d) = r(d, d2) = r;

ОÎS (A, r) Ç {d1, d2};

S (O, r).

Доказательство:

а) ОÎS (A, r) => AÎ S (O, r);

б) ОÎ{d1, d2} => r(O, d) = r => S (O, r) касается прямой d.

Исследование:

Построения 1 и 2 всегда выполнимы. Рассмотрим построение 3.

Здесь возможны три случая:

а) r(А, d) < 2r => Фигура S (A, r) Ç {d1, d2} состоит из двух точек;

Задача имеет два решения.

б) r(А, d) = 2r => Фигура S (A, r) Ç {d1, d2} – точка, задача имеет одно решение.

в) r(А, d) > 2r => S (A, r) Ç {d1, d2} = Æ; задача не имеет решений.

Задача 2

Построить треугольник АВС, зная АС и радиусы окружностей, описанных около треугольников АВD и ADC, где AD высота.

Анализ: Известно, что радиус описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Так как АС известно, радиусы окружностей известны, точка М – середина АD. Следовательно, можно построить и AD.

Построение:

АС, О2 – середина;

w1(О2, r2);

w2(A, r);

w3(O1, r);

CDÇw3 = B;

ABC – искомый;

Доказательство:

r1 – радиус описанной окружности треугольника АВD (по построению).

Исследование:

Радиусы описанных окружностей должны быть равны половине гипотенузы. Решение единственное.

Домашнее задание

Оставшиеся задачи и предложенная теория.

Занятие 4

Тема: Решение задач на построение алгебраическим методом

Цель: Сформировать умение строить отрезки по данным формулам.

Оборудование: Циркуль, линейка.

План-коспект занятия:

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала

Преподаватель: При решении задач алгебраическим методом приходится решать следующую задачу:

Даны отрезки a, b,…, l, где a, b,…, l – их длины. Выбрана единица измерения. Требуется построить отрезок х, длина которого х в этой же системе измерения выражается через длины a, b,…, l заданной формулой:

x = f (a, b,…, l)

Рассмотрим построение отрезков, заданных следующими простейшими формулами:

1) ;

2)

, где p и q – натуральные числа;

(построение отрезка – четвёртого пропорционального к данным трём).

;

;

С помощью построений 1–7 можно строить отрезки, заданные более сложными формулами.

Рассмотрим пример: (решить вместе с преподавателем).

Пример 1. Пусть а, b, c и d – данные отрезки. Построить отрезок х, заданный формулой:

Решение: Построение отрезка выполняем в следующей последовательности:

Строим отрезок у, заданный формулой (для этого дважды выполняем построение отрезка, заданного формулой 5);

Строим отрезок z, заданный формулой

(построение отрезка, заданного формулой 6);

Строим отрезки u и v по формулам и

(построение отрезка по формуле 4);

Строим отрезок х, по формуле

(построение отрезков, заданных формулой 4).

Построение:

Алгебраический метод решения задач состоит в следующем: Задачу формулируют так, чтобы в качестве данных фигур и искомой фигуры были отрезки. Используя подходящие теоремы, выражают длину искомого отрезка через длины данных отрезков и по найденной формуле строят искомый отрезок.

Рассмотрим пример:

Задача 1

Дан треугольник АВС. Построить три окружности с центром, соответственно в точках А, В и С так, чтобы они касались друг друга внешним образом.

Решение:

Анализ. Пусть АВС – данный треугольник, a, b, c – его стороны (AB = c, BC = a, AC = b). Задача будет решена, если мы сможем построить отрезок х по известным отрезкам a, b и c.

Видно, что