Факультативный курс по теме "Элементы комбинаторики" для 8 класса
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные
шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют «дерево возможностей») с применением правила умножения.
Возрастает роль комбинаторных задач уже в начальном обучении математике, так как в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.
Рассмотрим исходные понятия, лежащие в основе решения комбинаторных задач.
Правила решения комбинаторных задач
В основе науки «Комбинаторики» лежит теория множеств. Множество – это основное понятие теории множеств, поэтому никак не определяется, а поясняется на примерах (множество натуральных чисел, множество треугольников, квадратов).
В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, известно, что все натуральные числа являются целыми, т. е. множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
Используя 2 цифры, например, 3 и 5, можно записать 4 двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, говорят об упорядоченных наборах элементов. Такие наборы называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3.
Рассматривают в математике и декартово произведение множеств. Декартовым произведением множеств А1, А2, … , Аn называют множество всех кортежей длины n, первая компонента которого принадлежит множеству А, вторая – множеству А2, … , n-я множеству Аn.
Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов, то в декартовом произведении множества А и В содержится а·b элементов, т. е. n(A×B)=n(A)·n(B)=a·b.
Задача: сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 5, 4 и 7?
Решение: запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества А={5, 4, 7}. В задаче требуется узнать число таких пар, т. е. число элементов в декартовом произведении А×А. Согласно правилу n(A×А)=n(A)·n(А)=3·3=9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7, будет 9.
Таким образом, на основе некоторых понятий теории множеств строятся основные понятия комбинаторики.
Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, решая несложные комбинаторные задачи, нужно грамотно осуществлять перебор возможных вариантов.
Задача: сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
Решение: для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения.
Правило суммы
В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, правило нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют в таком виде.
Если объект а можно выбрать m способами, а объект b – k способами (не такими, как а), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами.
п(А+В)=п(А)+п(В)
Задача: на тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение: по условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5+4=9 способами.
Правило произведения
Правило нахождения числа элементов декартова произведения двух множеств называют в комбинаторике правилом произведения и формулируют в таком виде.
Если объект а можно выбрать m способами, а объект b - k способами, то пару (a, b) можно выбрать m∙k способами.
п(А×В)=п(А)× п(В)
Правило суммы и произведения, сформулированные для двух объектов, можно обобщить и на случай t объектов.
Задача: сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?
Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3∙3∙3=27.
Правила суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто. Рассмотрим некоторые из них и, прежде всего те, знание которых необходимо.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Программа обучения и воспитания детей в детском саду №55 "Родничок" г. Усть-Кут
- Формирование привычек здорового образа жизни у младших подростков с девиантным поведением
- Культура речи и профессионализм
- Использование проектного метода на музыкальном занятии с детьми шестого года жизни
- Коменский о родительской педагогике
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения