Факультативный курс по теме "Элементы комбинаторики" для 8 класса

Размещения

С теоретико-множественной точки зрения запись любого двузначного числа – это кортеж длины двух. Записывая различные двузначные числа с помощью цифр 7, 4 и 5, мы по сути дела образовывали из данных трех цифр различные кортежи длины двух с повторяющимися элементами. В комбинаторике такие кортежи называют размещениями с повторениями из трех элементов по два элемента.

Размещение

с повторениями из k элементов по m элементов – это кортеж длины m, составленный из m элементов k-элементного множества.

=km

Из определения следует, что два размещения из k элементов по m элементов отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Например, два двузначных числа из перечисленных выше (а это размещения из трех элементов по два) отличаются друг от друга либо составом элементов (74 и 75), либо порядком их расположения (74 и 47).

Задача: сколько всевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение: пользуясь формулой =km, легко подсчитать, сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5. так как речь идет о размещениях с повторениями их трех элементов по два, то =32=9.

Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число кортежей длины m, образованных из k элементов некоторого множества, но при условии, что элементы в кортеже не повторяются. Такие кортежи называются размещениями без повторений из k элементов по m элементов.

Размещение без повторений из k элементов по m элементов – это кортеж длины m, составленный из неповторяющихся элементов множества, в котором k элементов.

,

m множителей

Задача: сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4 и 5, так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

Решение: в задаче рассматриваются размещения без повторений из трех элементов по три, и их число можно подсчитать по формуле:

=3(3-1)∙(3-2)=3∙2∙1=6.

Эти числа таковы: 745, 754, 475, 457, 547, 574.

Одним из видов размещений являются перестановки.

Перестановки

Два размещения без повторений из n элементов по m состоят из одних и тех же элементов, расположенных в различном порядке. Такие размещения называют перестановками без повторений из n элементов.

где n!=1∙2∙3∙…∙n

Читают «n факториал». Считают, что 1!=1, 0!=1. Например, 5!=1∙2∙3∙4∙5=120; 7!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7=5040.

Задача: сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 одинаковых ладей, так, чтобы никакие две из них не били друг друга?

Решение: ладьи не будут бить друг друга тогда и только тогда, когда на каждой горизонтали и каждой вертикали стоит ровно одна ладья. Поэтому будем выставлять их по горизонталям. Первую можно поставить на любые 8 полей первой горизонтали, вторую на 7 полей второй горизонтали (одна вертикаль уже занята первой ладьей) и т.д. Получаем Р8=8!=40320 способов.

Пусть дан кортеж длинны п, составленный из элементов множества Х={х1, …, хk}. Причем элемент х1 входит в этот кортеж п1 раз, элемент хk – пk раз. Тогда п=п1+…+пk. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановками с повторениями из элементов х1,…, хk, имеющими состав (п1, … , пk).

Задача: сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова «математика»?

Решение: это слово имеет состав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1), поэтому получим Р(2,3,2,1,1,1)=

В размещениях и перестановках важен порядок размещения элементов кортежа.

Сочетания

В отличие от размещений, в сочетаниях порядок элементов множества не важен.

Из элементов множества Х={7, 4, 5} можно образовывать не только кортежи различной длины, но и различные подмножества, например двухэлементные. В комбинаторике их называют сочетаниями без повторений из трех элементов по два элемента.

Сочетание без повторения из k элементов по m элементов – это m-элементное подмножество множества, содержащего k элементов.

Два сочетания из k элементов по m элементов отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число всевозможных сочетаний без повторений из k элементов по m элементов обозначают .

Задача: четыре человека сыграли друг с другом по одной партии в шахматы. Сколько было сыграно партий?

Решение: каждую партию можно рассматривать как комбинацию из двух элементов четырех элементного множества, в которой порядок расположения элементов не существен. Но такие комбинации являются сочетаниями без повторений из 4 элементов по 2 и их число равно:

Сочетанием с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая последовательность из k элементов, членами которой являются элементы n [29].

=

Задача: сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

Решение: = = = = =120.

В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Конечно, применение формул облегчает подсчет числа возможных вариантов решений той или иной комбинаторной задачи. Однако чтобы воспользоваться формулой, необходимо определить вид комбинаций, о которых идет речь в задаче, что бывает сделать не очень просто.