Графические работы на уроках стереометрии в средней школе

3.01. Сделайте чертеж: Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ – общую прямую b, а плоскости β и γ – общую прямую с. Прямые а и b параллельны (рис. 21).

3.02. Сделайте чертеж: Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ – общую прямую b, а плоск

ости β и γ параллельны (рис. 22).

3.03. Сделайте чертеж: Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости α. Через вершину А и точку М – середину стороны АС – проведены соответственно плоскости β и γ, пересекающие плоскость ∆АВС по прямым АК и МТ (рис. 23).

3.04. В тетраэдре РАВС проведено сечение А1В1Р1, параллельное грани АВР. Определите взаимное расположение медиан РЕ и Р1Е1 треугольников соответственно АВР и А1В1Р1 (рис. 24).

Решение: Рассмотреть 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве: параллельность, пересечение, скрещивание. Итог: РЕ || Р1Е1.

3.05. Постройте сечение треугольной пирамиды РАВС плоскостью, которая проходит через внутреннюю точку К основания АВС и параллельна грани РАВ (рис.25).

Решение: Плоскость сечения проходит через точку К, пересекает грани АРС, СРВ и АВС пирамиды и параллельна АРВ. Следовательно, прямые пересечения с гранями параллельны соответствующим ребрам грани АРВ. Построение следует начать с нижнего основания через известную точку К. Далее через полученные точки пересечения с ребрами АС и ВС провести параллельные прямые АР и ВР соответственно.

Уроки применения знаний, умений и навыков

1.05. Докажите, что середины ребер АР, СР, ВС и АВ тетраэдра РАВС лежат в одной плоскости. Определите вид фигуры, вершинами которой служат эти точки (модификация задачи, приведенной в пункте 4.2.3).

1.06. Треугольник АВС лежит в плоскости α. Через его вершины проведены параллельные прямые, не лежащие в плоскости α. На них отложены равные отрезки АА1, ВВ1 и СС1 по одну сторону от α. Докажите, что ∆АВС и ∆А1В1С1 равны (рис. 26).

Решение: Используется: способ задания плоскости через параллельные прямые (попарное рассмотрение заданных параллельных прямых); определение параллелограмма (достаточно равенства и параллельности одной пары противолежащих сторон (по условию)); условие равенства треугольников по трем сторонам.

1.07. Прямая АВ пересекает плоскость α. Через концы отрезка АВ и его середину С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А1, В1 и С1. Рассмотрите случаи: 1) отрезок АВ не пересекает плоскость α (рис. 27а); 2) отрезок АВ пересекает α (рис. 27б). В каждом случае найдите: а) длину отрезка СС1, если: АА1 = 7, ВВ1 = 5; б) длину отрезка АА1, если ВВ1 = 7, СС1= 11.

Решение: а) Точки А, В и С лежат на одной прямой (из пересечения параллельных прямых с прямой АВ и плоскостью α). В1С1 = С1А1 (по теореме Фалеса). СС1 – средняя линия трапеции АА1ВВ1.

б) Сделаем выносной рисунок пересечения АВ и А1В1 и проведем через точку В прямую, параллельную прямой А1В1 (рис. 27в).

A1L = 5 (т.к. BL ‌|| A1B1)

CL1 – средняя линия в ∆АLВ

1.08. Через вершины А, В, С и D параллелограмма ABCD, расположенного в одном полупространстве относительно плоскости α, точку О пересечения его диагоналей и центроид М треугольника BCD проведены параллельные прямые, которые пересекают данную плоскость α соответственно в точках А1, В1, С1, D1, О1, М1. Найдите ММ1, ОО1 и DD1, если АА1 = 17, СС1 = 5, ВВ1 = 15 (рис. 28).

Решение: В задаче используется выделение фигуры из состава чертежа, чертеж рассматривается с разных точек.

АСС1А1 – трапеция (параллельные прямые АА1 и ВВ1 задают плоскость). ОО1 – средняя линия трапеции: .

BDD1B1 – трапеция: .

ОСС1О1 – трапеция.

ОМ = ОС (свойство пересечения медиан треугольника), О1М1 = О1С1 (аналогично). Следовательно, .

1.09. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 29).

Решение: ML || DB, NK || DB (как средние линии треугольников ADB и CDB соответственно), ML = NK. NMLK – параллелограмм (параллельные прямые задают плоскость). Из свойства диагоналей треугольника следует, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказательства для ОР аналогично.

2.08. В правильном тетраэдре DABC, все ребра которого равны 6, точка К лежит на ребре BD так, что DК = 2; точка М лежит на ребре ВС так, что ВМ = 4; точка Р – середина ребра АВ. а) Докажите, что КМ параллельна плоскости ADC. б) Докажите, что РМ не параллельна плоскости ADC. в) Проведите через точку Р прямую, параллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точке L. Найдите длину LK. г) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р и К параллельно АС (рис.30).

Решение: а) По теореме Фалеса: DC ||КМ. По признаку параллельности прямой и плоскости: (АDC) ||КМ.

б) РМ не параллельна АС (СМ≠АР), следовательно, они пересекаются, так как лежат в одной плоскости. Тогда, РМ не параллельна плоскости ADC.

в) По теореме Фалеса: DL = 3. Тогда, LK = 1.

г) (PKS) – искомое сечение, где PS – средняя линия треугольника АВС.

2.09. Основанием правильной четырехугольной пирамиды PABCD является параллелограмм ABCD. Постройте ее сечение плоскостью, проходящей через АВ и точку К, лежащую в грани: а) ВСР (рис. 31а); б) DCP (рис. 31б). Какая фигура получается в сечении?

В обоих случаях – равнобокая трапеция.

Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, b и с. Всегда ли существует плоскость: а) параллельная каждой из этих прямых (рис. 32а); б) пересекающая каждую из них (рис. 32б)? Ответ обоснуйте и выполните соответствующий рисунок.