Графические работы на уроках стереометрии в средней школе

Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М (рис. 1).

Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а плоскости α и γ пересекаются по другой прямой МТ (рис. 2).

Задания на выделение существенных признаков

геометрических понятий, их актуализацию

Выделение существенных признаков может осущ

ествляться:

а) по словесному описанию условий задачи;

б) по графическому изображению фигуры.

Ученик по словесному описанию задачи должен выделить (подчеркнуть) те слова, в которых заключены существенные признаки понятий, опознать их; уметь дифференцировать словесно те условия (их совокупность), которые определяют, что «дано», а что «требуется найти» (доказать, вычислить и т.п.). Это необходимо, чтобы ученик мог сознательно отчленять известное от искомого. Вычленение существенных признаков понятий можно организовать и по чертежу.

Пример 2: На рисунке изображены три попарно пересекающиеся прямые, которые пересекают плоскость α. Верно ли сделан рисунок? (рис. 3)

Решение: При внимательном изучении рисунка видно, что прямые а, b и c лежат в одной плоскости (используется аксиома задания плоскости).

Прямые а, b и c пересекают плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В и С (аксиома пересечения плоскостей). Но по чертежу видно, что через точки А, В и С невозможно провести единственной прямой. Следовательно, рисунок сделан неверно.

4.1.3. Задания на вычленение фигуры из состава других фигур

чертежа

Очень часто чертеж представляет собой не одну (однородную) фигуру, а их совокупность. Для решения задачи не все фигуры одинаково значимы. Необходимо зрительно выделить эту фигуру из состава других, мысленно ее «подчеркнуть»; удержать в образе, чтобы работать с ней. Для этого необходимо фиксировать внимание не на всех, а лишь на отдельных фигурах; причем на разных этапах решения задачи может происходить как бы смена «фигуры и фона»: те фигуры, которые рассматривались как значимые для решения задачи, должны сменяться другими. Для этого ученику нужно от них отвлечься, чтобы перейти к другим. Необходимы специальные упражнения, обеспечивающие возможность не только продуктивного выделения фигуры из фона, но и динамической смены их (то, что было «фоном» становится «фигурой», и наоборот). Такие задания полезны как в целях дифференциации учащихся, так и для развития у них умения последовательно, логично, обоснованно переходить в образах от одной фигуры к другой, подобно тому, как они учатся строго, логично, последовательно словесно излагать свои мысли. Переход от одной фигуры к другой в образах должен быть аргументирован опознаванием существенных признаков, детерминирован требованиями задачи.

Такие задания можно составить на любом материале, используя различные геометрические фигуры как двух-, так и трехмерные. Они предполагают смену анализа фигур: переход от одних к другим, отвлечение от остальных.

Пример 3: Назовите по рисунку (рис. 4):

Плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, АС;

Точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ.

Решение:

4.1.4. Задания на сравнение фигур чертежа

Эти задания также требуют произвольного внимания, обеспечивающего гибкий переход от одних элементов к другим, с целью их сравнения по заданным признакам.

Такие задания требуют знания существенных признаков; фиксации внимания на двух или более фигурах; мысленного сопоставления их элементов; опознания на них существенных признаков, объединение фигур на основе их сходства и различия с целью вычленения общего признака, т.е. установления в образах определенной логической связи.

Сравнение элементов чертежа может осуществляться двумя путями. Первый путь — установление того, является ли данный объект элементом определенного множества объектов или нет (задача подведения под «понятие», осуществляемая в образной форме). Второй путь — установление принадлежности данного объекта одному из классов заданного множества объектов (задача на классификацию). И в том, и в другом случае выявляются, а также развиваются определенные логические операции, но осуществляются они над образами, ведь при этом имеет место мысленное воссоздание или видоизменение элементов чертежа, хотя исходный чертеж не изменяется. Происходит зрительная актуализация существенных признаков, выявление их логической структуры, мысленная проверка наличия этих признаков у рассматриваемой фигуры, их опознание.

Пример 4 (задача на классификацию): Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если известно, что ; (рис. 5).

Решение: Используется свойство равенства противолежащих сторон граней – параллелограммов. Тогда см. Найдем искомое в задаче:

;

Отсюда .

4.1.5. Задания на построение недостающих фигур чертежа в ходе

решения задачи

В геометрии очень много заданий, требующих дополнительных построений. Они основаны на тщательном анализе исходных элементов чертежа, определении их существенных (по условию задачи) признаков, причем этот анализ идет в мысленном плане (элементы чертежа сравниваются зрительно). На этой основе возникает догадка о необходимости введения нового элемента и только после этого осуществляется его построение. Такие задания развивают у ученика «образную» логику. Ведь решение о дополнительном построении возникает не сразу, а после тщательного анализа элементов исходного чертежа, сопоставления их со словесными условиями задачи, выработки некоторой стратегии решения и как результат — выполнение построения на основе вычленения и обоснования недостающего данного (или их совокупности), что открывает путь к решению задачи, позволяет переосмыслить исходный чертеж.

Рассмотрев все элементы чертежа, определив их существенные (понятийные) признаки, ученик должен «расширить» круг необходимых данных, для чего и делается дополнительное построение. Оно может быть результатом «слепых» проб, когда ученик без достаточного анализа задачи делает те или иные построения — легко отказывается от одних и переходит к другим. Но построение может быть строго логически обосновано результатом решения задачи (ее отдельного этапа). Это нетрудно установить, наблюдая за работой ученика над задачей.