Особенности изучения табличных случаев умножения и деления в начальной школе

Математика обычно считается самым трудным предметом школьного обучения.

Одна из трудных тем по математике в начальных классах – «Табличное умножение и деление».

Каждый учитель знает, сколько усилий требуется, чтобы добиться усвоения табличных случаев умножения и деления. И, тем не менее, результаты работы редко радуют. Стоит сделать небольшой перерыв, например каникулы, или уделить не

много меньше внимания этой теме, и сразу появляются ошибки.

Выбранная нами тема является актуальной, так как она имеет большое значение во всем курсе математики. Выявив особенности изучения табличных случаев умножения и деления в начальных классах, современный учитель может максимально помочь учащимся в овладении данной темы. Разные подходы к изучению табличных случаев умножения и деления должны заинтересовать учащихся, активировать их деятельность.

Объектом моего исследования являются табличные случаи умножения и деления.

Предмет исследования – средства, формы, методы, используемые при обучении младших школьников табличным случаям умножения и деления.

Цель исследования – изучить методическую литературу по теме; разработать систему упражнений, уроков; обосновать использование форм, средств и методов обучения табличным случаям умножения и деления.

Исходя из объекта и предмета исследования, можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза: использование различных средств, форм, методов, приемов, способствуют прочному и осознанному усвоению детьми вопросов табличного умножения и деления.

В связи с этим нами были поставлены следующие задачи:

изучить педагогическую и учебно-методическую литературу, вопросы по теме «Особенности изучения табличных случаев умножения и деления в начальной школе»;

проанализировать программы и учебники по математике для начальных классов с целью выявления того, в каком объеме изучается данная тема в начальной школе;

раскрыть основные направления работы по учебнику при изучении табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления в концентре «Сотня»;

подобрать упражнения, способствующие усвоению учащимися табличных случаев умножения и деления.

Для решения поставленных задач были использованы такие методы научно-педагогических исследований:

- теоретический анализ литературы;

- анализ методов, средств, форм, используемых при обучении младших школьников табличным случаям умножения и деления;

- анализ накопленного опыта работы учителей по данной теме;

- изучение результатов деятельности младших школьников (проверка контрольных, самостоятельных работ и устного опроса) с целью определения уровня знаний и умений младших школьников при изучении табличных случаев умножения и деления в начальных классах.

Теоретический анализ основных математических понятий

Понятие произведения целых неотрицательных чисел может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Определение. Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число а·b, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) а·b = а + а + . + а при b > 1;

b слагаемых

2) а·1=а при b = 1;

3) а·0 = 0 при b = 0 [19,270].

Теоретико-множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1, A2, ., Аb имеют по a элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит а·b элементов. Следовательно, произведение a·b – это число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства а·1=а и а·0=0 принимаются по условию.

Действие, при помощи которого находят произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, называют множителями.

Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

С данным определением учащиеся знакомятся в начальных классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?»

Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4·6 = 24 (пуговицы).

Имеется и другое определение произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества: А={х, у, z} и В = {n, t, r, s}. Найдем их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:

(х, n), (х, t), (х, r), (х, s),

(y, n), (у, t), (у, r), (у, s),

(z, n), (z, t), (z, r), (z, s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении АхВ равно 3+3+3+3=12. С другой стороны, n(А) = 3, n(В) = 4 и 3·4 = 12. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А и В равно произведению n(А)·n(В).

Вообще если А и В – конечные множества, то

n(А х В)=n(А) х n(В).

Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств А и В, где n(А)=а, n(В)=b:

a·b = n(А х В),

где n(А) = а, n(В) = b

И в первом, и во втором случае нами определено произведение двух чисел. А как определить произведение нескольких множителей?

Пусть произведение двух множителей определено и определено произведение n множителей. Тогда произведение, состоящее из n+1 множителя, т. е. произведение a1 · a2 · . · аn · аn+1, равно (a1 · a2 · . · an) · an+1.

Например, чтобы найти произведение 2·7·5·9 согласно этому определению, надо выполнить последовательно следующие преобразования:

2·7·5·9 = (2·7·5)·9 = ((2·7)·5)·9 = (14·5)·9 = 70·9 = 630.

Докажем переместительный закон умножения через декартово произведение множеств.

Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел a и b справедливо равенство a·b = b·a.

Пусть a = n(А), b = n(В). Тогда по определению произведения

a·b = n(А*В).

Но множества А*В и В*А равномощны: каждой паре (a, b) из множества А*В можно поставить соответствие единственную пару (b, a) из множества В*А, и наоборот. Значит,

n(А*В) = n(В*А),

и поэтому a·b = n(А*В) = n(В*А) = b·a.

Переместительное свойство умножения в начальных классах формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится». Данное свойство широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел.

Рассмотрим задачу, которую решают младшие школьники, приступая к изучению действия деления: «8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?

Ответ на вопрос задачи находится при помощи деления: 8:2=4.