Методика использования технологии дистанционного обучения при изучении темы "Системы счисления"

4. Десятичная система счисления

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем сама правая цифра 5 обозначаетпять единиц, вторая справа- пять десятков и наконец, третья справа – пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом.Разрчяд числа возростает справа на лево, от младших разрядов к счтаршим. В десятичной системе цифра, находящаяся в

крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее – сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеемразряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числатакое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме записи числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом: 55510 = 5∙10*2+5∙10*1+5∙10*0

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового разряда степеней основания (в донном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

55510, 5510 = 5∙10*2+5∙10*1+5∙10*0+5∙10*-1+5∙10*-2.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так: А10 = аn-1∙10*n-1+…+a0∙10*0+a-1∙10*-1+…+a-m∙10*-m

Коэфициенты аi в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так: А10 = аn-1an-2…a0,a-1…a-m

Из выше приведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево.

555,5510∙10=5555,510

555,5510:10=55,55510

5. Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 и 1.

Например, разхвернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

А2=1∙2*2+0∙2*1+1∙2*0+0∙2*-1+1∙2*-2

Свернутая форма этого же числа: А2 = 101,012.

В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

А2 = аn-1∙2*n-1+an-2∙2*n-2+…a0∙2*0+a-1∙2*-1+…+a-m∙2*-m

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами (0 и 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

А2 = an-1an-2…a0, a-1a-2…a-m

Из выше приведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево.

Например:

101,012∙2 = 1010,12

101,012:2 = 10,1012

6. Позиционные системы счисления с произвольным основанием

Возможно использование множество позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентоми, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1.

Аq = аn-1∙q*n-1+an-2∙q*n-2+…a0∙q*0+a-1∙q*-1+…+a-m∙q*-m

Коэффициенты ai в этой записи являются цифрами числа, записаного в q-ичной системе счисления.

Так, ввосьмиричной системе основания равно восьми (q=8). Тогда записаное в свернутой форме восьмиричное число А8 = 673,28 в развернутой форме будет иметь вид: А8 = 6∙8*2+7∙8*1+3∙8*0+2∙8*1.

В шестнадцатиричной системе основание равно шестнадцати (q=16), тогда записаное в свернутой форме шестнадцатиричное число А16 = 8А,F16 в развернутой форме будет иметь вид: А16 = 8∙16*1+А∙16*0+F∙16*-1

Если выразить шестнадцатиричные цифры через их десятичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид: А16 = 8∙16*1+10∙16*0+15∙16*-1

1. Выпишите числа от 100 до 110 в римской системе счисления.

2. Запишите числа 32 и 444 в римской системе счисления

Выполните действие (XXII – V) + XX: V) и запишите результат римскими цифрами.

3. Укажите числа, записанные с ошибками 1237, 30054, 12ААС0920, 1454767.

4. Выпишите первые восемь натуральных чисел для систем счисления с основанием 10, 2, 3, 4, 5, 6.

Подводя итог:

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от ее позиции (разряда) в записи числа.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

В системе счисления с произвольным основанием запись числа выглядит следующим образом:

Аq = аn-1*qn-1 +…+a0*q0+ a-1*q-1 +…+a-m*q-m.

Домашнее задание.

Знать основные определения. Учебник “Информатика и информационные технологии 10–11”, Н.Угринович, стр. 92, задания 2.6, 2.7, 2.8.

Урок №2 Перевод чисел в позиционных системах счисления.

Тема: 2.1 Перевод чисел в десятичную систему счисления

Цель: Сформировать у учащихся навыки и умения перевода чисел в десятичную систему счисления.

Требования к знаниям и умениям:

Учащийся должен знать:

- развернутую форму записи числа.

Учащийся должен уметь:

- переводить числа из любой системы счисления в десятичную.

Ход урока:

Теоритическая часть:

Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления, в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной систиемы в десятичную. Возьмем любое двоичное число, например 10, 112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10, 112=1∙2*1+0∙2*0+1∙2*-1+1∙2*-2=1∙2+0∙1+1∙1/2+1∙1/4=2,7510

Перевод чисел из восьмиричной системы в десятичную. Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

67,58= 6∙8*1+7∙8+5∙8*-1 = 6∙8+7∙1+5∙1/8=55,62510.

Перевод чисел из шестнадцатиричной системы в десятичную. Возьмем любое шестнадцатиричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме (при этом необходимо помнить, что шеснадцатиричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления: