Методика использования технологии дистанционного обучения при изучении темы "Системы счисления"

19F16 = 1∙16*2+9∙16*1+F∙16*0=1∙256+9∙16+15∙1 = 41510

Практика:

Пример 1. Переведём число 100112 в десятичную систему счисления:

1. Запишем число в развёрнутой форме:

100112=1*24+0*23+0*22+1*21+1*20

2. Найдём сумму ряда: 24+21+20 = 16+2+1 = =1910

Ответ: 100112 = 1910

Пример 2. Переведём число 0,1102 в десятичную систему счисления:

1. Запишем число в развёрнутой форме:

0,1102=1*2-1+1*2-2+0*2-3

2. Найдём сумму ряда: 2-1+2-2 = 0,5+ 0,25= =0,7510

Ответ: 0,1102 = 0,7510

Пример 3. Переведём число 101,102 в десятичную систему счисления:

1. Запишем число в развёрнутой форме: 101,102=1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2

2. Найдём сумму ряда: 22+21+20 +2-1 =4+2+1+ +0,5= 7,510

Ответ: 0,1102 = 7,510

Пример 4. Переведем восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

Пример 5. Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C16 = (15·167)+(4·166)+(5·165)+(14·164)+(13·163)+(2·162)+(3·161)+(12·160) = 409985490810

Контрольные вопросы

Решить задачи для закрепления изученного материала

Перевести в десятичную систему следующие числа: 1012, 1102, 1112, 78, 118, 228, 1А16, BF16, 9C16.

Провести проверку выполнения задания 1 с помощью электронного калькулятора NumLock Calculator.

Урок № 3

Тема: 2.2 Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную.

Цель: сформировать у учащихся навыки и умения переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную.

Требования к знаниям и умениям:

Учащийся должен знать:

- целочисленное деление;

- алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую.

Учащиеся должны уметь:

- переводить числа из десятичной системы счисления в любую другую.

Теоритическая часть:

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную более сложен и может осуществляться различными способами. Расмотрим один из алгоритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Алгоритм перевода цклых десятичных чисел в двоичную систему счисления. Пусть Ацд – целое десятичное число. Запишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):

Ацд = an-1∙2*n-1+an-2∙2*n-2+…+a1∙2*1+a0∙2*0.

На первом шаге разделим число Ацд на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно an-1∙2*n-2+an-2∙2*n-3+…+a1,

а остаток - равен a0.

На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет теперь равен a1.

Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков: a0, a1, …, an-1

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного числа, записаного в свернутой форме: А2 = an-1… a1, a0.

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное будет следующим:

Последовательно выполнять делениеисходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основании системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя, то есть меньше 2.

Записать полученые остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получае двоичное число: А2 = а4 а3 а2 а1 а0 = 100112

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления. Пусть Адд – правильная десятичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсутствовать положительные степени основания (числа 2): Адд = а-1∙2*-1+а-2∙2*-2+…

На первом шаге умножим число Адд на основание двоичной системы, то есть на 2. Произведение будет равно: а-1 + а-2∙2*-1+…

Целая часть будет равна а-1.

На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умножим на 2, получим целую часть, равную а-2.

Описаный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Легко заметить, что последовательность полученных чисел совпадает с последовательностью цифр дробного двоичного числа, записаного в свернутой форме: А2= а-1 а-2 .

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в двоичную будет следующим:

Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основании системы (на 2) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу: