Обыкновенные дроби в пятом классе

Определим математические способности учащихся как психологические особенности, являющиеся условием успешного приобретения ими математических знаний, умений и навыков.

Из отечественных исследователей необходимо упомянуть русского математика Д.Д. Мордухай-Болтовского с оригинальной статьей «Психология математического мышления». Автор утверждает, что способность к математике не всегда присуща

даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть существенная разница. Для нас предоставляет интерес структура математических способностей, которую он выделил:

1. «сильная память», память на «предметы того типа, с которыми имеет дело математика» (не на факты, а на идеи и мысли);

2. остроумие, под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух, малосвязанных областей мысли, находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в, казалось бы, разных предметах;

3. быстрота мысли, которая объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному.

Структура математических способностей, по мнению других отечественных ученых, включает ряд частных способностей:

ü способность к обобщению математического материала;

ü способность к свертыванию процесса математического рассуждения и соответствующих математических действий (многозвеньевая последовательность рассуждений заменяется короткой связью, вплоть до почти непосредственной связи между восприятием задачи и ее результатом);

ü способность обратимости мыслительного процесса (переход от прямого к обратному движению мысли);

ü Гибкость мыслительных процессов при решении математических задач и т.д.

Выдающийся советский математик А.И. Колмогоров выделил три компонента математических способностей: алгоритмический, геометрический и логический.

Геометрический компонент:

a) Способность извлекать необходимую информацию из заданной конфигурации путем ее анализа или дополнения, включая поиск идеи решения задачи с помощью рисунков, моделей фигур или мысленного представления;

b) Способность к переводу на язык геометрии той или иной задачи и обращение к наглядным примерам в процессе решения негеометрических задач.

Алгоритмический компонент:

a) Способность применять готовые алгоритмы и методы в конкретной ситуации;

b) Способность свести задачу к выполнению конечной цепи более элементарных действий;

c) Способность довести до конца намеченный план решения, применяя аналитические методы, относящиеся к алгебре, тригонометрии или анализу.

Логический компонент:

a) Вычленение (из некоторого общего положения) и исследованием всех частных случаев;

b) Создание экономной и непротиворечивой схемы решения задачи;

c) Проведение доказательных рассуждений, использующих, в частности, прием доказательства «от противного», обращение к контрпримеру, продвижение при решении задач «от конца к началу» и другие приемы.

В.А. Гусев предложил вариант классификации составляющих (параметров) математических способностей учащихся, обеспечивающих полноценную математическую деятельность.

1. параметры, характеризующие «математический стиль» мышления:

- гибкость мыслительного процесса;

- обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении;

- предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

- стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

2. параметры, характеризующие качества личности учащихся как математиков, имеющих природную обусловленность или приобретенные в процессе математической деятельности:

– привычка к полноценной логической аргументации;

– быстрота усвоения учебного материала;

– геометрическое воображение или «геометрическая интуиция»;

– обладание достаточным терпением при решении математических задач;

– математическая память.

3. параметры, характеризующие математическую деятельность:

– ориентировочный этап деятельности;

– умственные действия;

– практические действия.

В.А. Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил начало экспериментальному анализу структуры математических способностей.

К.К. Платонов, опираясь на исследования В.А. Крутецкого, предложил схему структуры математических способностей учащихся, которая содержит и основные этапы решения математических задач.

I. Получение математической информации.

1) Способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи

II. Переработка математической информации.

1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

3) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

4) Гибкость мыслительных процессов и математической действительности.

5) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решения.

6) Способность к быстрому и свободному переключению с прямого хода мысли на обратный (обратимость процесса математического рассуждения).

III. Хранение математической информации.

1) Математическая память (схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

IV. Общий синтетический компонент.

1) Математическая направленность ума.

Вывод: математические способности – это психологические особенности, являющиеся условием успешного приобретения математических знаний, умений, навыков.

Логико-дидактический анализ темы «Обыкновенные дроби» на предмет развития математических способностей

Логико-математический анализ темы будем проводить по следующей схеме:

1. Цели изучения темы и требования к математической подготовке учащихся по данной теме.

2. Логико-математический анализ теоретического материала:

- Какие понятия вводятся, даются ли им определения, каковы связи между этими понятиями;

- Какие утверждения изучаются, доказываются ли они, каковы связи между ними;

- Какие задачи приведены в теоретической части, какова цель их рассмотрения;

- Какой может быть математическая карта темы.

3. Анализ задачного материала

-Задачи, которые соответствуют обязательным результатам обучения;

-Комплексы взаимосвязанных задач:

ü Прямые и обратные задания;

ü По единой основе решения (по определению, по формуле);

ü По единому требованию в варьировании данных задач.

4. Рекомендуемые контрольные работы и примерные варианты самостоятельных работ по этой теме.

5. Тематическое планирование.

Анализ проводился по учебнику «Математика 5 класс» Н.Я. Виленкин, Москва, Просвещение, 1990 г.

При изучении математики 5 часов в неделю в 5 классе на тему «Обыкновенные дроби» отводится 26 часов. Согласно программе данная тема включает в себя следующие разделы: