Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"

;

производная суммы равна сумме производных, т.е.

;

производная частного: .

Доказательство этих свойств приводить не будем, отметим лишь, что все они доказываются на основании определ

ения производной функции.

Задача 1. Найти производную функции

Решение. На основании таблицы производных, а также правил дифференцирования находим, что .

Задача 2. Найти производную функции .

Решение. Как известно . Тогда по правилу дифференцирования частного, получим:

.

Задача 3. Вычислите значение производной функции при .

Решение. Найдем производную данной функции:

Теперь найдем значение производной при .

Задача 4. Решите неравенство , если .

Решение. Найдем производную данной функции:

Теперь решаем неравенство:

,

.

Ответ: .

Урок 3.

Тема: Производная сложной функции.

Цели:

-образовательная: рассмотреть правило нахождения производной сложной функции;

-развивающая: расширить кругозор учащихся;

-воспитательная: воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

На предыдущих занятиях мы рассмотрели производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции , хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требуется очень большого объема работы: надо представить в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причем

.

Для доказательства формулы надо при рассмотреть дробь и установить, что при . Введем обозначения:

Тогда .

при , т. к. дифференцируема в точке .

Далее доказательство проведем только для таких функций , у которых в некоторой окрестности точки . Тогда

при , т. к. при , а при , что выполнено при .

Задача 1. Найти производную функции .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

.

Задача 2. Найти производную показательной функции .

Решение. Представим показательную функцию в следующем виде:

.

Докажем вначале, что . Найдем приращение функции :

.

Теперь найдем производную этой функции, пользуясь определением:

Теперь по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Задача 3. Найти производную логарифмической функции .

Решение. Покажем вначале, что . По основному логарифмическому тождеству , т.е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция. Поэтому производные и равны, т.е.

Известно, что . Производную правой части вычисляем по правилу дифференцирования сложной функции: . Подставляя найденные производные в равенство , получим .