Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"

при значении аргумента будем иметь .

Найдем приращение функции :

.

Составим отношение приращения функции к приращению аргум

ента:

.

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции и обозначают . Таким образом, по определению,

или

Задача 1. Дана функция найти ее производную .

Решение. При значении аргумента, равном , имеем . При значении аргумента, равном , имеем . Находим приращение функции:

.

Составляем отношение :

.

Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:

.

Итак, производная от функции в произвольной точке равна

.

Задача 2. Дана функция , найти ее производную .

Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем примере, получаем:

, ,

,

,

.

Задача 3. Дана функция , найти ее производную .

Решение. Дадим аргументу приращение , тогда

,

,

,

,

Учитывая, что есть непрерывная функция, окончательно получим:

.

Задача 4. Дана функция . Найти ее производную .

Решение. Дадим аргументу приращение , тогда

,

Но так как

,

то

.

Урок 2.

Тема: Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования.

Цели:

-образовательная: рассмотреть таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования;

-развивающая: углубить знания по теме;

-воспитательная: формирование математически грамотной речи.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Укажем, вначале, производные основных элементарных функций:

Производная функции , где - любое действительное число равна ;

Функция имеет производную , причем, если дана функция , то ее производная равна ;

Производная логарифмической функции равна , причем, производная функции равна ;

Производные тригонометрических функций и равны соответственно и ;

Производные тригонометрических функций и равны соответственно и .

Доказательство первой формулы выходит за рамки школьного курса математики. Следующие две формулы доказываются по правилу дифференцирования сложной функции. Производные синуса и косинуса были найдены нами ранее. Последние две формулы докажем ниже, после того как рассмотрим правила дифференцирования.

Основные правила дифференцирования:

производная постоянной равна нулю, т.е. где ;

константу можно выносить за знак производной, т.е.