Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"

Рис. 6.

Задача 2. Исследовать функцию

.

Решение. Так как функция является периодической периода , то достаточно исследовать функцию на отрезке .

1) Находим производную:

2) Находим критические значения аргумента:

, , , .

3) Исследуем характер каждой критической точки:

.

Следовательно, в точке имеем максимум:

.

Далее, аналогично:

в точке имеем минимум:

при функция имеет максимум:

в точке имеем минимум:

На основании этих данных можем построить эскиз графика (рис. 7)

Задания для самостоятельной работы: исследовать функции и построить их графики: а) ; б) ;

Урок 9.

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.

Цели:

-образовательная: рассмотреть нахождение наибольших и наименьших значений функции;

-развивающая: расширить кругозор учащихся;

-воспитательная: формирование способности анализировать, вести диалог с учителем, классом.

Тип занятия: комбинированный.

Вид занятия: практикум.

Материал к занятию.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда на этом отрезке имеет место следующая теорема: если функция непрерывна на некотором отрезке , то на отрезке найдется, по крайней мере, одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

,

где - любая другая точка отрезка, и найдется, по крайней мере, одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

.

Тогда, по только что приведенной теореме, функция достигает на этом отрезке своего наибольшего значения. Будем предполагать, что на этом отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка, то очевидно, что это значение будет одним из максимумов (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

Итак, функция на отрезке , достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума.

То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение функция на отрезке , то надо:

найти все максимумы на отрезке;

определить значения функции на концах отрезка , т.е. вычислить и ;

из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет представлять собой наибольшее значение функции на отрезке .

Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке.

Задача 1. Определить на отрезке наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение. 1) Находим минимумы и максимумы функции на отрезке :

,

В точке имеет место минимум:

.

В точке имеет место максимум:

.

2) Определяем значение функции на концах отрезка: