Разработка темы "Производная в школьном курсе математики"

Так, например, функция , график которой изображен на Рис. 1, имеет максимум при

Рис. 2

Определение. Функция имеет минимум при , если

при любых , достаточно малых по абсолютной величине.

Например, функция (Рис 3) при имеет минимум, так как при и при других значениях .

Рис. 3

В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства:

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях , заключенных внутри рассматриваемого отрезка;

Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума – наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Так, на рис. 3 изображена функция, определенная на отрезке , которая на этом отрезке

при и имеет максимум,

при и имеет минимум,

но минимум функции при больше максимума функции при . При значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке.

Рис. 4

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции или экстремальными значениями функции.

Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке минимум или максимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. .

Из этой теоремы следует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция в этих точках параллельна оси . Действительно, из того, что , где - угол между касательной и осью , следует, что . (рис. 4)