Обучение решению задач на проценты в курсе алгебры основной школы

Решение:

Выразим проценты обыкновенной или десятичной дробью: 36%==0,36.

Воспользуемся правилом нахождения числа по его дроби:

9:==25 или 9:0,36=25

Ответ: в классе было 25 учащихся.

Далее рассматривается задача вида П1.

Сначала учащиеся рассматривают выражение частного двух чисел в процентах: «чтобы выразить частное в процентах, нужно частное умножить на 100 и к полученному произведению приписать знак процента».

Только после этого они переходят к решению задачи П1.

«Для этого нужно

1) первое число разделить на вторе;

2) полученное частное выразить в процентах»

Пример 7. В классе 25 учащихся, из них 20 пионеров. Сколько процентов составляют пионеры?

Решение:

Для решения нужно частное выразить в процентах. =0,8=80%.

Ответ: пионеры составляют 80%.

В конце темы рассматривается задача вида П2 и П3.

«… чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:

на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;

сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины»

Пример 8. До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения – 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника?

Решение:

Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника: 250-230=20 р.

Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника:=0,08=8%

Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%.

Правила ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Решение задач в данном курсе арифметическое. Использование уравнений при решении начинается лишь в конце года только в сложных задачах. Следовательно, не каждый ученик сможет овладеть этим умением. Поэтому нужно включить задачи на проценты при изучении уравнений.

В учебниках понятие процента также изучается в конце V класса. Перед введением определения рассматриваются примеры употребления понятия «процент»:

«Всхожесть семян составляет 98 процентов; в выборах президента России приняли участие 65 процентов избирателей… ». Процент определяется как обозначение сотой доли. В V классе авторы рассматривают только два вида задач: задачи вида К1 и К2. Решение этих задач осуществляется арифметическим способом. Большое внимание уделяется вопросу, какую величину взять за 100%.

Далее тема «Проценты» изучается в VI классе. Здесь рассматриваются те же виды задач, но решение осуществляется уже алгебраическим способом (составление линейных уравнений). Авторы формулируют правила нахождения части от целого и целого по его части:

«1) чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь (соответствующее этой части);

2) чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь».

После этого тема не рассматривается.

Несколько другой подход в учебниках. Проценты начинают изучаться в начале VI класса. Вводится понятие процента как одной сотой части числа (величины). Рассматриваются задачи трех типов:

а) нахождение процентов от данного числа К1.

Сначала рассматривается нахождение 1% от данного числа. Затем - нахождение произвольного числа процентов.

б) нахождение числа по данному числу его процентов К2.

Также в первую очередь обсуждается, как найти число, 1% которого известен. Затем эта задача рассматривается для любого произвольного числа процентов.

в) нахождение процентного отношения двух чисел П1. Авторы формулируют правило «Чтобы отношение двух чисел выразить в процентах, можно это отношение умножить на 100»

Все три типа задач решаются сначала арифметическим способом, а затем их решают, на основе свойств пропорциональности.

Пример 9. Найти 8% от 35.

Решение: Пусть x – искомое число, тогда:

, x=

Ответ: 2

Рассматриваются также задачи, в которых нужно увеличить (уменьшить) число на некоторое число процентов К3 и К4. Проценты также используются при изучении диаграмм.

В середине учебного года авторы снова предлагают вернуться к понятию процента. Они хотят установить связь между десятичными дробями и процентами, вспоминают ранее изученный материал и предлагают более сложные задачи.

Пример 10.

Цену товара увеличили на 10%, затем еще на 10%. На сколько процентов увеличили цену товара за два раза?

Здесь же рассматриваются задачи на смеси и сплавы (этот параграф отмечен, как параграф повышенной трудности). Мне кажется, что задачи такого типа для шестиклассников сложны. Поэтому не каждый учитель захочет рассматривать такие сложные задачи со всем классом и очень важный пласт задач останется не рассмотренным. Но это очень важные задачи, которым следует уделить должное внимание, возможно, в старшем возрасте.

В этом комплекте также уделяется внимание работе с калькулятором при решении задач на проценты. Данному вопросу посвящен отдельный параграф и разработана система упражнений.

В старших классах тема проценты рассматривается в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. В старших классах операции с процентами становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты. Поэтому вопросы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения постепенно забываются учащимися.

Покажем, как предлагается изучать этот материал в учебных комплектах по математике для V-VI класса под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф. Шарыгина и для VII – IX класса под ред. Г.В.Дорофеева.

Прежде всего, нужно отметить, что при изложении темы «Проценты» реализуются многие общие методические особенности, характерные для курса в целом. Тема разворачивается по спирали и изучается в несколько этапов с VI по IX класс включительно. При каждом проходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решений. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознанно. Появляется возможность включать задачи, которые сейчас в действующих учебниках не могут рассматриваться просто в силу возрастных особенностей школьников.