Обучение решению задач на проценты в курсе алгебры основной школы

Рис. 5

При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений нужно включить новые задачные ситуации.

№ 191.В сплав входят медь, олово, сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый метал

л? («Деление в данном отношении»)

№ 252. За определенное время с помощью принтера было распечатано 30 страниц. Сколько страниц распечатает принтер, производительность которого на 50% больше? («Прямая и обратная пропорциональность»)

№ 269. Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость? («Решение задач с помощью пропорций»)

По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают новый прием решения расчетных задач на проценты – с помощью составления уравнения.

№ 501. Вкладчик открыл в банке счет. Через год на его счету было 360000 руб., что составило 120% от суммы, которую он внес первоначально. Сколько рублей внес вкладчик при открытии счета?

В VIII классе в теме «Алгебраические дроби» учащиеся снова обращаются к задачам на проценты. Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» – это хорошие примеры практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить их внимание на то, что в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании может вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.

№ 187. Разберите, как по условию задачи составлено уравнение и решите задачу. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение. Пусть х руб. – сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.;

0,11(х+800) руб. – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:

0,11(х+800)=220.

№ 205. Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?

При изучении темы «Системы уравнений» школьникам важно показать новый метод решения задач на проценты. Учащимся предлагается план решения.

№ 656. В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

Решите задачу, используя следующий план:

Обозначьте буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли.

Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

Определите количество соли в получившемся растворе.

Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившихся растворах.

Составьте систему и решите ее.

В IX классе в главе «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений.

№ 419. На первые и вторые премии в конкурсе студенческих дипломных работ было выделено 15 тыс. р., причем 40% этих денег пошло на первые премии. Вторых было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составляла 50% первой?

Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

В учебнике не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.

№ 639. Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости.

а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 2 года; за 10 лет; за n лет?

б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций?

Авторы предлагают также задачи аналитического характера.

№ 654. Виктор вложил на десять лет по 1000 р. на два разных счета – с 10% годовых и 20% годовых.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвертый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

В ходе решения предлагаемых авторами задач учащиеся видят, что понятия арифметической и геометрической прогрессии, а также формулы их сумм – это не просто абстрактное отвлеченное понятие, а конкретное математическое знание, необходимое для жизни.

В данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализ данных» формулируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами.

Проценты также используются в VI – VII классах для представления информации в виде таблиц и диаграмм, а VIII – IX классах – при изучении вероятно-статистического материала.

№ 155. На диаграмме показано, какой процент составляет тот или иной вид изделий от всей продукции ателье по пошиву мужской одежды.

а) Какова основная продукция данного ателье?

б) Какого цвета пиджаки ателье производит меньше всего? больше всего?

в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета?

г) Какой из следующих ответов может показывать , сколько процентов всех изделий составляют жилеты: 24%, 17%, 10%, 6%? (см.рис. 6)

Рис. 6

№ 675. Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания):

П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, К, Я, П, З, С, О,О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П,О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.