Разработка лекционной демонстрации "Изучение механизма формирования ударной волны" для курса "Молекулярная физика"

В то же время, разбивая адиабатический процесс на сколько угодно этапов, придем к одной и той же плотности, если задано конечное давление.

Это положение иллюстрируется диаграммой р, V рис. 2.7, где изображены адиабата Пуассона и несколько адиабат Гюгонио, отвечающих сжатию газа последовательными ударными волнами.

Ри

сунок 2.7 — К вопросу об однократном и многократном ударном и адиабатическом сжатиях газа до одинакового давления : НА, НВ, НС – ударные адиабаты, для которых точки А, В, С являются начальными; Р – адиабата Пуассона.

Ударные волны слабой интенсивности

Рассмотрим ударную волну слабой интенсивности, в которой скачки всех газодинамических параметров можно рассматривать как малые величины. При этом пока не будем делать никаких предположений о термодинамических свойствах вещества, исходя только из законов сохранения.

Рассматривая внутреннюю энергию как функцию энтропии и удельного объема, запишем приращение энергии в ударной волне в виде разложения по малым приращениям независимых переменных около точки начального состояния:

(2.44)

Все производные в этом разложении берутся в точке начального состояния V0S0. Как мы сейчас увидим, приращение энтропии в волне S1 — S0 есть величина третьего порядка малости, если рассматривать приращение V1 — V0 как малую первого порядка. Поэтому, ограничиваясь разложением внутренней энергии до величин третьего порядка, можно опустить члены, пропорциональные (S1 — S0)(V1 — V0), (V1 — V0)2 и т.д. Согласно термодинамическому тождеству ,

(2.45)

Поэтому

(2.46)

Подставим это выражение в уравнение адиабаты Гюгонио (2.18) и разложим в правой части ее давление p1. Поскольку левую часть равенства можно разложить до величин третьего порядка, в разложении давления достаточно ограничиться членами второго порядка по разности V1 — V0 и опустить член, содержащий приращение энтропии, так как он даст в правой части слагаемое, пропорциональное (S1 — S0)(V1 — V0), которое есть величина более высокого порядка малости, чем (V1 — V0)3:

(2.47)

Производя сокращения в уравнении адиабаты Гюгонио с подставленными разложениями, получим связь приращения энтропии с приращением объема:

(2.48)

Если исходить из уравнения адиабаты Гюгонио, записанного в форме (2.19), где вместо внутренней энергии стоит энтальпия, получим аналогичным путем

. (2.49)

В тождественности обеих формул легко убедиться, подставляя разложение в формулу (2.49) и замечая, что

. (2.50)

Формулы (2.48) и (2.49) показывают, что приращение энтропии в ударной волне слабой интенсивности есть величина третьего порядка малости относительно приращений p1—p0 или V0—V1 которыми характеризуется амплитуда волны.

Из формул (2.48) и (2.49) видно, что знак приращения энтропии в ударной волне определяется знаками вторых производных или . Если адиабатическая сжимаемость вещества - уменьшается с увеличением давления, т.е.и , обычная адиабата на плоскости р, V изображается кривой, обращенной выпуклостью вниз (как в идеальном газе с постоянной теплоемкостью). В этом случае энтропия растет (S1 > S0) B ударной волне сжатия, когда, и уменьшается в ударной волне разрежения. Если же и , положение обратное: энтропия растет в ударной волне разрежения, когда p1 < р0, V1 > V0, и уменьшается в ударной волне сжатия. Поскольку для подавляющего большинства реальных веществ , то из условия невозможности уменьшения энтропии и следует невозможность существования ударных волн разрежения.

Запишем разложение давления р = р (S, V) около начальной точки S0, V0 вплоть до членов третьего порядка по V1 — V0 и первого порядка по S1 — S0:

.

(2.51)

Опишем этим разложением начальные участки ударной и обычной адиабат, проведенных через точку S0, V0. Члены первого и второго порядков малости относительно V1 — V0 у обеих адиабат совпадают, т.е. ударная и обычная адиабаты имеют в начальной точке общие касательные и общие центры кривизны (имеет место касание второго порядка). Члены третьего порядка малости у адиабат отличаются. Третий член в правой части разложения у обеих адиабат общий. Последний же, четвертый, у обычной адиабаты исчезает, так как S1 — S0 = 0 (S = const), а у ударной адиабаты, согласно (2.48), равен

. (2.52)

У всех нормальных веществ давление с ростом энтропии при постоянном объеме (во время нагревания при постоянном объеме) увеличивается, т.е. ; также положительна. Следовательно, при V1 > V0 последний член отрицателен, а при V1 < V0 положителен: при V1 > V0 ударная адиабата проходит ниже обычной, а при V1 < V0 — выше обычной. Таким образом, в начальной точке для обеих адиабат имеет место касание второго порядка с пересечением.

Взаимное расположение ударной адиабаты Н и обычной Р показано на рис. 2.8. Для ясности отметим, что отрезок CD — величина первого порядка малости относительно V0 — V1, DE — второго, a EF — третьего.

Вернемся к геометрической интерпретации приращения энтропии в ударной волне (рис. 2.9). Величина изображается площадью фигуры AFBCEA. Разобьем ее прямой АС на две части: сегмент АСЕА и треугольник ABC. Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания ВС на высоту V0 — V1. Отрезок ВС при небольших изменениях всех величин, т.е. в волне слабой интенсивности, равен , т.е.

, (2.53)