Разработка лекционной демонстрации "Изучение механизма формирования ударной волны" для курса "Молекулярная физика"

(2.4)

Закон сохранения импульса при помощи (2.4) приобретает вид

(2.5)

Закон сохранения энергии при помощи уравнений (2.4) и (2.5) преобразуется к виду

(2.6)

Вводя удельную энтальп

ию , можно переписать его иначе:

(2.7)

Полученные уравнения представляют собой записанные в наиболее общей форме соотношения между газодинамическими величинами на поверхности разрыва, в который газ втекает по направлению, нормальному к самой поверхности.

Замечательно, что они не содержат никаких предположений о свойствах вещества и являются выражением лишь общих законов сохранения массы импульса и энергии.

Уравнения (2.4)-(2.6) можно вывести и непосредственно, рассматривая разрыв в системе координат, в которой он покоится. Поскольку разрыв является бесконечно тонким, внутри него не происходит накопления массы, импульса и энергии. Следовательно, потоки этих величин со стороны невозмущенного газа равны потокам по другую сторону разрыва. Если на разрыв нормально к поверхности набегает газ с плотностью и скоростью , то поток массы есть он равен массе; вытекающей через 1 см2 в 1 сек с другой стороны разрыва, т.е. . Таким образом, получаем уравнение (2.4). Втекающая через 1 см2 в 1 сек масса обладает количеством движения . Приращение количества движения при переходе через разрыв равно импульсу сил давления за 1 сек р0 — p1 или, что то же самое, потоки импульса по обе стороны разрыва равны друг другу (то, что величина представляет собой плотность потока импульса при плоском движении.

Приращение полной (внутренней и кинетической) энергии газа, протекающего в 1 сек через 1 см2 поверхности разрыва , равно работе сил давления, совершаемой в 1 сек из расчета на 1 см2 поверхности. Эта работа равна . Для того чтобы пояснить происхождение этой величины, представим себе трубу, по которой течет газ справа налево, протекая через разрыв, находящийся где-то посередине (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 — Опыт, поясняющий вывод выражения для работы

Справа и слева в трубе помещены поршни, которые движутся со скоростями и таким образом, чтобы поверхность разрыва покоилась. Правый поршень, к которому приложено давление р0, гонит газ через трубу, совершая работу в 1 сек на 1 см2. Над левым поршнем газ совершает работу (поршень «совершает» над газом отрицательную работу ). Таким образом, полная работа, совершенная над газом, равна . Приравнивая ее приращению энергии газа, получим уравнение (2.6). Его можно истолковать и иначе: полные потоки энергии по обе стороны разрыва , выражение для которых следует из уравнения энергии, равны друг другу.

Формально соотношения (2.4) — (2.6), свидетельствующие о равенстве потоков массы, импульса и энергии через поверхность разрыва, можно получить и из дифференциальных уравнений которые являются выражением тех же законов. Запишем эти уравнения для плоского случая:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Будем сначала формально рассматривать разрыв как некий тонкий слой с большими градиентами всех величин и проинтегрируем уравнения по этому слою от х0 до х1. Например,

(2.11)

Теперь произведем предельный переход, устремив толщину слоя х1 — х0 к нулю. Интегралы в левых частях, пропорциональные х1 — х0 0, исчезают (что и соответствует отсутствию накопления массы, импульса и энергии в разрыве). Интегралы же в правых частях дают разности потоков соответствующих величин по обе стороны разрыва, т.е. мы приходим к уравнениям (2.4)-(2.6).

Следует подчеркнуть формальный характер последнего вывода соотношений на ударном разрыве (2.4)-(2.6). Он свидетельствует только о том, что выражения для потоков массы, импульса и энергии, стоящие под знаками дивергенции в дифференциальных уравнениях, являются совершенно общими, независимо от того, непрерывно течение или нет. Если считать разрыв не математической поверхностью, а неким тонким слоем конечной толщины, где газодинамические величины меняются очень резко, но непрерывным образом, то применять к этому слою уравнения (2.9), в которых не учтены вязкость и теплопроводность, нельзя. Ниже мы увидим, что энтропии газа по обе стороны разрыва различны, тогда как в дифференциальных уравнениях (2.9) заложено условие постоянства энтропии (адиабатичности движения). Отметим внешнее сходство энергетического соотношения на ударном разрыве (2.7) с интегралом Бернулли для стационарного потока

(2.12)

справедливого вдоль линии тока.

Ударная адиабата

Уравнения (2.4)-(2.6), связывающие между собой параметры газа по обе стороны разрыва, представляют собой систему трех алгебраических уравнений относительно шести величин: (термодинамические свойства вещества, т.е. функции или предполагаются известными). Зная термодинамические параметры газа перед разрывом и задаваясь какой-нибудь из величин, характеризующих амплитуду ударной волны, например, давлением за фронтом волны р1 или скоростью «поршня», создающего волну можно вычислить все остальные неизвестные величины. Выпишем некоторые общие соотношения, следующие из законов сохранения (2.4) — (2.6). Введем вместо плотностей удельные объемы .