Разработка лекционной демонстрации "Изучение механизма формирования ударной волны" для курса "Молекулярная физика"

Графически эта скорость определяется наклоном прямой АВ, проведенной из начального состояния в конечное ((p1 — p0)/(V0 —Vl) равно тангенсу угла наклона прямой). Из рис. 2.4 видно, что чем выше конечное давление (чем мощнее ударная волна), тем больше наклон прямой и тем больше скорость волны. (Для иллюстрации на рис. 2.4 проведены две прямые, АВ и АС.)

Посмотрим, чем определяется начальный н

аклон ударной адиабаты в точке А. Вычислим производную dp1/dV1 с помощью формулы (2.22) для идеального газа с постоянной теплоемкостью:

. (2.36)

Взяв производную в точке А, т.е. положив V1 = V0, получим (dp1/dV1)0= . Но эта величина есть не что иное, как наклон адиабаты. Пуассона , проходящей через точку A: (dp/dV)S= . Таким образом, в точке А ударная адиабата касается адиабаты Пуассона, проходящей через эту точку. Обычная адиабата РР, соответствующая начальной энтропии газа S0 = S(P0,V0), также проведена на рис. 2.4. Касание адиабат в начальной точке иллюстрируется и общей формулой (2.14) для скорости ударной волны. В пределе слабой волны, когда , ударная волна не отличается от звуковой, изменение энтропии стремится к нулю, и скорость волны D совпадает со скоростью звука:

. (2.37)

Вообще же наклон прямой АВ всегда больше наклона касательной к адиабате в точке А, так что всегда .

Начальный наклон ударной адиабаты определяется скоростью звука в исходном состоянии. Непосредственным вычислением по формулам для идеального газа с постоянной теплоемкостью можно убедиться в том, что в точке А совпадают не только первые, но и вторые производные от адиабат Гюгонио и Пуассона, т.е. в точке А имеет место касание второго порядка. Это положение также является общим.

Рисунок 2.5 — К геометрической интерпретации приращения энергии в ударной волне

Н — ударная адиабата,

Р — адиабата Пуассона.

Адиабата Гюгонио везде проходит выше обычной адиабаты, проведенной из начальной точки, как показано на рис. 2.4. В самом деле, при ударном сжатии от объема V0 до объема V1 < V0 энтропия повышается, а при адиабатическом — остается неизменной. Но при одинаковом объеме давление тем выше, чем больше энтропия.

Приращение удельной внутренней энергии при ударном сжатии ε1-ε0 от состояния А до состояния В, как видно из выражения (2.18) для ударной адиабаты, численно равно площади трапеции MABN, покрытой на рис. 2.5 горизонтальной штриховкой.

Если газ сжать адиабатически из состояния А до того же самого объема V1 (до состояния Q), то для этого нужно совершить работу, численно равную площади фигуры MAQN, ограниченной сверху обычной адиабатой Р и заштрихованной вертикально. Эта площадь дает и приращение внутренней энергии газа

(2.38)

(интегрирование ведется при S = S0). Для того чтобы привести газ в конечное состояние В, необходимо его еще нагреть при постоянном объеме V1, сообщив ему количество тепла, численно равное разности площадей, заштрихованных горизонтально и вертикально, т.е. равное площади фигуры ABQ. Эта площадь и определяет возрастание энтропии газа при ударном сжатии. Она равна

, (2.39)

где — некоторая средняя температура на отрезке прямой QB (при V = V1 = const).

В системе координат, в которой исходный газ покоится, он после сжатия приобретает кинетическую энергию (на 1 г), равную, согласно общей формуле (2.16),

. (2.40)

Эта энергия численно равна площади треугольника ABC на рис. 2.5, дополняющего трапецию MABN, площадь которой соответствует , до прямоугольника MCBN.

Площадь этого прямоугольника представляет собой полную энергию, сообщенную «поршнем» 1 г первоначально покоящегося газа. В сильной ударной волне, когда , она поровну делится между приращениями внутренней и кинетической энергий: площ. MABN площ. ABC:

(2.41)

Рисунок 2.6 — диаграмма, поясняющая соотношение между скоростями газа и звука в ударной волне

Разберем на диаграмме p,V соотношение между скоростями газа и звука в конечном состоянии (рис. 2.6). Проведем через точку В на адиабате НА, соответствующей начальному состоянию А, новую адиабату Нв, для которой точка В является начальной. Из симметрии уравнения адиабаты относительно перестановки индексов «0» и «1» следует, что если , то . Другими словами, адиабата Нв, формально продолженная в сторону давлений, меньших начального, пересекает адиабату НА в точке А. Взаимное расположение адиабат НА и Нв таково, как это показано на рис. 2.6, в чем легко убедиться на примере идеального газа с постоянной теплоемкостью. Скорость распространения волны относительно сжатого газа определяется формулой (2.15)

(2.42)

Квадрат скорости звука в сжатом газе в точке В равен

(2.43)

Первая величина пропорциональна тангенсу угла наклона прямой ВА, а вторая — тангенсу угла наклона касательной к ударной адиабате Нв в точке В (ударная адиабата Нв и адиабата Пуассона, проходящая через В, касаются друг друга). Взаимное расположение прямой ВА и адиабаты Нв соответствует тому, что .

В отличие от адиабаты Пуассона, адиабата Гюгонио зависит от двух параметров. Благодаря этому нельзя путем сжатия газа несколькими ударными волнами, исходя из данного начального состояния, прийти к тому же самому конечному состоянию, что и путем сжатия одной волной.

Так, например, если пропустить по одноатомному газу сильную ударную волну, газ сожмется в четыре раза, а если пропустить одну за другой две сильные волны, оставляя неизменным конечное давление, получим сжатие в 16 раз.