Разработка лекционной демонстрации "Изучение механизма формирования ударной волны" для курса "Молекулярная физика"

Далее, из формул (2.31) и (2.32) видно, что в ударной волне, в которой происходит сжатие газа (V1 < V0, p1 > р0), газ втекает в разрыв со сверхзвуковой скоростью u0 > с0, а вытекает из него с дозвуковой u1 < c1 (то, что V1 < V0,> при p1 > p0, следует и из общих формул (2.18), (2.19)). Можно сказать иначе: удар

ная волна распространяется по невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью, а по сжатому газу, находящемуся за нею, с дозвуковой. Чем выше амплитуда ударной волны, т.е. чем больше отношение p1/p0, тем больше скорость фронта волны u0 по сравнению со скоростью звука в невозмущенном газе с0. Отношение же u1/c1 в пределе сильной волны p1 р0 стремится к постоянной величине

. (2.33)

Рассмотрим, что происходит с энтропией газа при сжатии его ударной волной. Энтропия идеального газа с постоянной теплоемкостью с точностью до константы равна S = cvlnp. Разность энтропии по обе стороны фронта ударной волны с помощью формулы (2.23) можно представить в виде

(2.34)

В предельном случае слабой волны , выражение в фигурных скобках близко к единице и . При возрастании амплитуды волны, т.е. при увеличении отношения p1/p0, начиная от единицы, выражение в фигурных скобках, как легко проверить, монотонно растет, стремясь к бесконечности при p1/p0. Таким образом, энтропия газа, испытывающего ударное сжатие, возрастает, причем тем сильнее, чем выше амплитуда ударной волны. Возрастание энтропии свидетельствует о том, что в ударной волне происходят необратимые, диссипативные процессы, связанные с существованием вязкости и теплопроводности вещества. Теория, в которой эти процессы не учитываются, естественно, не может описать сам механизм ударного сжатия, не может описать структуру того тонкого, но в действительности конечного слоя, в котором происходит переход газа из начального состояния в конечное. Именно поэтому в теории, где вязкость и теплопроводность не приняты во внимание, ударный разрыв представляется математической поверхностью с нулевой толщиной. Как было отмечено выше, в такой теории нет характерной длины, которая могла бы послужить масштабом для толщины разрыва. При учете молекулярной структуры газа, т.е. процессов вязкости и теплопроводности, такой масштаб появляется. Это — длина свободного пробега молекул, которой пропорциональны коэффициенты вязкости и теплопроводности и которая, в действительности, служит мерой реальной ширины разрыва. Существенно, однако, что сама величина возрастания энтропии при ударном сжатии совершенно не зависит от механизма диссипации и определяется исключительно законами сохранения массы, импульса и энергии.

От механизма диссипации зависит только ширина разрыва, т.е. скорость, с которой происходит необратимое нагревание газа, испытывающего ударное сжатие. Так, стакан горячей воды непременно остывает до вполне определенной, комнатной температуры, совершенно независимо от механизма теплообмена с окружающей средой, которым определяется лишь скорость остывания.

От механизма диссипации зависят величины градиентов газодинамических величин в переходном слое, но не скачки этих величин между конечным и начальным состояниями, которые определяются только законами сохранения. Например, если р = p1 — р0 есть скачок давления в ударной волне, а ; — ширина переходного слоя, то при изменении коэффициентов вязкости и теплопроводности меняются и , но произведение остается неизменным. В пределе, когда коэффициенты вязкости и теплопроводности устремляются к нулю,, а , градиенты становятся бесконечными, что и соответствует разрыву.

Дифференциальные уравнения газовой динамики без учета вязкости и теплопроводности лишь допускают возможность существования разрывов, но не могут описать непрерывным образом переход из начального в конечное состояние, ибо в уравнениях автоматически заложено условиеn адиабатичности процесса, dS/dt = 0, эквивалентное уравнению энергии. Дифференциальные уравнения содержат четыре закона сохранения: массы, импульса, энергии и энтропии, тогда как в разрыве выполняются только три из них, все, кроме закона сохранения энтропии.

К вопросу о толщине фронта ударной волны, который может быть решен лишь при учете молекулярной структуры вещества, т.е. при «микроскопическом» рассмотрении процесса ударного сжатия. Теперь продолжим «макроскопическое» описание явления ударного сжатия, исходя только из законов сохранения массы, импульса и энергии.

Геометрическая интерпретация закономерностей ударного сжатия

Для лучшего уяснения различных закономерностей в теории ударной волны и свойств ударной адиабаты очень полезны графические построения на диаграмме р, V. Проведем на плоскости р, V через точку А начального состояния вещества р0, V0 ударную адиабату НН (рис. 2.4). Будем считать, что характер этой кривой аналогичен ударной адиабате идеального газа с постоянной теплоемкостью, т.е. что кривая везде обращена выпуклостью вниз: вторая производная в каждой точке положительна. В целях наглядности мы будем иллюстрировать некоторые положения конкретными вычислениями на примере идеального газа с постоянной теплоемкостью, однако можно показать, что закономерности являются общими и справедливы для веществ с другими термодинамическими свойствами. Единственное условие, которое накладывается на эти свойства,— это чтобы ударная адиабата во всех точках была обращена выпуклостью вниз. Пусть вещество после ударного сжатия из состояния А(р0, V0) переходит в состояние В (p1, V1), изображаемое точкой В, лежащей на ударной адиабате.

По формуле (2.14) скорость распространения ударной волны по невозмущенному веществу дается выражением

D2 = =. (2.35)

Рисунок — 2.4. р,V-диаграмма

НН — адиабата Гюгонио,

РР — адиабата Пуассона,

КК — касательная к обеим адиабатам в точке начального состояния А(V0,p0).