Разработка лекционной демонстрации "Изучение механизма формирования ударной волны" для курса "Молекулярная физика"

где - площадь сегмента ACEA. Отсюда

, где . (2.54)

Рисунок 2.8 — Взаимное расположение ударной Н и обычной Р адиабат

DK — касательная к адиабатам в точке начального состояния А. В ударной волне слабой интенсивности отрезок CD — величина первого порядка малости, DE — второго, EF — третьего.

При малых изменениях объема и , т.е. поправка на площадь треугольника мала. И действительно, она более высокого порядка малости, чем площадь сегмента, которая имеет порядок .

Рисунок 2.9 К геометрической интерпретации приращения энтропии в ударной волне

Составляя выражение для площади сегмента

(2.55)

и подставляя разложения для слабых волн, придем, как и следовало ожидать, к формуле (2.48).

Таким образом, и из геометрического построения видно, что знак AS зависит от знака площади сегмента, т.е. от того, проходит ли секущая АС выше или ниже обычной адиабаты или, что то же самое, обращена ли адиабата выпуклостью вниз или вверх.

Сопоставим скорости u0, u1 со скоростями звука с0, c1. Как мы знаем, отношение u0 /с0 определяется соотношением наклонов прямой АВ (см. рис. 2.4) и касательной к адиабате Пуассона в точке А. Отношение u1 /с1 определяется соотношением наклонов прямой АВ и касательной к адиабате Пуассона, проведенной через точку В. Запишем выражения для наклонов всех трех прямых:

- прямая AB,

- касательная к адиабате в точке A,

- касательная к адиабате в точке B.

Последняя формула следует из того факта, что адиабата S1 = const вплоть до членов третьего порядка относительно Vl — V0 параллельна адиабате S0 = const. Замечая, что

видим, что прямая АВ проходит более круто, чем касательная в точке А, но менее круто, чем касательная в точке В, откуда ,. Это непосредственно видно и из рис. 2.6.

Существенна внутренняя связь условий возрастания энтропии и условия механической устойчивости разрыва . Оба условия непосредственно вытекают из того факта, что адиабаты при уменьшении объема, начиная от А, идут все круче и круче.

Итак, из рассмотрения ударных волн слабой интенсивности в веществе с произвольными термодинамическими свойствами мы получили все те следствия из законов сохранения, которые были выше продемонстрированы на частном примере идеального газа с постоянной теплоемкостью. Единственное условие, которое нам при этом потребовалось,— это положительность второй производной .

Ударные волны в веществе с аномальными термодинамическими свойствами

Представим себе теперь вещество с аномальными термодинамическими свойствами, такими, что вторая производная хотя бы в некоторой части адиабаты отрицательна. Обычная адиабата для такого вещества в соответствующей области давлений и объемов обращена выпуклостью вверх, как показано на рис. 1.36.

При небольших изменениях давления адиабата Гюгонио почти совпадает с адиабатой Пуассона (с точностью до малых третьего порядка по V1 — Vo или р1 — р0).

В этом случае площадь фигуры APBMNA, ограниченной сверху адиабатой Пуассона, больше площади трапеции AEBMNA, ограниченной сверху секущей АЕВ, т.е. энтропия в ударной волне сжатия убывает (это видно и из формулы (2.48)). В то же время благодаря тому, что наклон секущей меньше наклона касательной в точке А, скорость распространения ударной волны по невозмущенному газу меньше скорости звука, а поскольку наклон секущей АЕВ больше наклона касательной в точке В, скорость за разрывом сверхзвуковая.

Рисунок 2.10 — Адиабата Пуассона вещества с аномальными свойствами и геометрическая интерпретация соотношений для ударных волн сжатия и разрежения

Наоборот, в ударной волне разрежения энтропия растет (см. формулу (2.48)). Как видно из сопоставления наклонов секущей АС и касательных в точках А и С, скорость перед разрывом сверхзвуковая, а за разрывом — дозвуковая.

Таким образом, и в веществе с аномальными свойствами условие возрастания энтропии совпадает с условием механической устойчивости и условием, допускающим причинную связь между внешними факторами и распространением волны:. В аномальном веществе невозможны ударные волны сжатия, но возможны ударные волны разрежения. Вызванное движением поршня сжатие в таком веществе будет распространяться в виде волны, постепенно расширяющейся наподобие волн разрежения в обычном газе. Ударный разрыв вообще не возникнет и движение будет адиабатическим. Волна же разрежения будет распространяться в виде крутого фронта, который не будет расширяться с течением времени и толщина которого будет определяться значениями вязкости и теплопроводности.

В обычных условиях все вещества—газообразные, твердые и жидкие — обладают нормальными свойствами: адиабатическая сжимаемость их уменьшается с возрастанием давления. Аномального поведения вещества можно ожидать вблизи критической точки жидкость — газ. Действительно, еще задолго до критической точки изотермы газа имеют перегиб (в критической точке перегиб становится горизонтальным). Для вещества с достаточно большой молекулярной теплоемкостью, у которого показатель адиабаты близок к единице, адиабаты и изотермы отличаются мало, и можно ожидать, что вне области двухфазных состояний адиабаты также будут иметь перегиб, т.е. обладать областью с аномальным знаком второй производной, как это показано на рис. 2.11.

Рисунок 2.11 — Адиабата с аномальной выпуклостью в Ван-дер-Ваальсовом газе с теплоемкостью сV = 40 кал/град-моль

Заштрихована область двухфазных систем. Кривая II ограничивает область состояний с аномальной выпуклостью адиабат. Под кривой II.