Особенности изучения темы "Поверхности вращения второго порядка" в школьном курсе математики

1.4 Построение поверхностей вращения второго порядка методом параллельных ссечений

1.4.1 Суть метода параллельных сечений

Наиболее сложный вопрос при решении задач, это изображение, построение поверхностей. При построении поверхности вращения второго порядка по его уравнению широко используют метод параллельных сечений. Суть метода параллельных сечений заключается в том, чтобы, использу

я уравнение поверхности вращения второго порядка, получить линии второго порядка, расположенные в плоскостях параллельных координатным.

Для этого поверхность рассекают множеством плоскостей параллельных координатным, в каждой плоскости должна получиться линия второго порядка. Какая это будет линия зависит от уравнения поверхности второго порядка.

Данный способ довольно прост для понимания, так как связан с темой линии второго порядка, которая изучается перед темой поверхностей второго порядка, и позволяет наиболее четко изобразить объемную поверхность второго порядка на плоском листе ватмана.

Ниже будут представлены построения поверхностей вращения второго порядка таких как эллипсоида вращения, однополостного гиперболоида вращения, двуполостного гиперболоида вращения, эллиптического параболоида вращения.

1.4.2 Примеры построения поверхностей вращения второго порядка

Эллипсоид вращения

, a=b (1)

При построении этой поверхности воспользуемся методом параллельных сечений. Рассмотрим сечения плоскостей параллельных плоскости ХОУ. Уравнение такой плоскости имеет вид z=h, если плоскость пересекает ось OZ в точке с координатами о, о, h, подставляя это значение z в уравнение (1), получим следующее равенство: (2). Разделим его и положим , . Получим уравнение эллипса, который является проекцией сечения плоскость ХОУ: . Это возможно лишь в том случае, когда |h| <c. В противном случае уравнение (2) решений не имеет, то есть секущая поверхность не пересекает числа и принимает наибольшее значение при h=0. В сечении поверхности плоскостью ХОУ получается окружность с полуосями а и b. Оси окружностей уменьшаются при изменении |h| от о до с.

При пересечении поверхностью XOZ (y=o) получается эллипс: , плоскостью XOZ (x=0) - эллипс .

Этим эллипсом принадлежат концы осей эллипсов, полученных при пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости ХОУ.

Положительные числа а, в, с называется полуосями эллипсоида. Если , то он называется трехосным. В нашем случае а=b это эллипсоид вращения, так все его сечения плоскостями z=h (|h|<c) являются окружностями. При a=b=c получаем сферу, так как уравнение (1) принимает вид: .

Изображение эллипсоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении (приложение 2, рис.17.).

Однополостный гиперболоид вращения

, a=b (3)

Чтобы построить форму поверхности, рассмотрим сечения её плоскостями, параллельными плоскости ХОУ. Уравнение такой плоскости: z=h. Подставим это значение z в уравнение (3), получим: (4). Проекция сечения на плоскость ХОУ - окружность, заданная уравнением (4). Её полуоси равны . Наименьшая окружность получается при h=0, то есть в сечении поверхности плоскостью ХОУ. Сечение поверхности плоскостью ХОУ (y=0) - гипербола. Её уравнения .

В сечении плоскостью XOZ (x=0) получим также гиперболу, заданную уравнением . В приложении 10 изображен однополостный гиперболоид и его сечения плоскостями XOZ, YOZ и некоторыми плоскостями, параллельными ХОУ.

Если в уравнении a=b, то сечения плоскостями параллельными ХОУ являются окружностями, и поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения. Поверхность можно еще получить, вращая вокруг оси прямую, которая не пересекает ось и не параллельна ей. Изображение однополостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис.18.

Двуполостный гиперболоид вращения

, a=b (5)

Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями параллельными плоскости ХОУ. Пусть секущая плоскость пересекает ось OZ в точке с координатами (o, o,h) в сечении получится линия, заданная уравнениями: .

Это уравнение имеет решение при |h| c. При |h|=c в сечении получаются две точки А (o, o, h) и В (o, o, - h) - вершины гиперболоида. Если |h|>c, то в сечении получается окружность. Её уравнения , где .

Полуоси этой окружности увеличиваются с увеличением |h|. В сечении гиперболоида координатой плоскостью XOZ, получаем гиперболу. Её уравнение на плоскости XOZ: или . Действительная ось гиперболы расположена на оси OZ, на этой гиперболе лежат концы осей (равных 2 а), эллипсов, полученных в сечениях плоскостями z=h. В сечении гиперболоида плоскостью YOZ также получится гипербола. Её уравнение в плоскости: . У двуполостного гиперболоида вращения в уравнении (5) a=b, в сечении его плоскостями z=h, получаются окружности. Всё перечисленное выше позволит нам изобразить двуполостный гиперболоид вращения. Изображение двуполостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис. 19.

Эллиптический параболоид вращения

, a=b (6)

При z=0 это уравнение не имеет решений, при z=0 есть единственное решение: x=0, y=0, z=0. Получим координаты точки 0 (начало координат), которая называется вершиной параболоида. Все остальные его точки находятся над плоскостью ХОУ. В сечении поверхности плоскостями z=h (h>0) получаем окружнорсти, их уравнения: или , где . Оси окружности увеличиваются при возрастании h. В сечениях плоскостями XOZ и YOZ получаются параболы и . Изображение эллиптического параболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении (приложение 2, рис. 20.).