Особенности изучения темы "Поверхности вращения второго порядка" в школьном курсе математики

Геометрия как учебный предмет в школе строится на дедуктивной, аксиоматической основе и требует для своего усвоения хорошо развитого теоретического, понятийного мышления.

По мнению В.А. Гусева, основной целью изучения геометрии является развитие пространственных представлений, воображения учащихся. Но наглядные представления о пространственных свойствах и отношениях являются в аксиоматиче

ской геометрии лишь своеобразной иллюстрацией ее теоретических постулатов, аксиом, определений, теорем, понятий и выполняют в этом смысле вспомогательную роль. Такое построение содержания математического образования отвечает закономерностям математики как науки, но не соответствует природе детского мышления, которое целостно, многомерно, креативно опирается на образное восприятие предметного мира, организованного определенным образом в пространстве.

В курсе школьной геометрии пространственное мышление, как и всякое мышление, должно выполнять не вспомогательную, а основополагающую функцию, реализующую возможность человека ориентироваться в окружающем его реальном пространстве, в котором нет ни одного плоского объекта, изучаемого в планиметрии.

В школьном курсе стереометрии существуют темы, обладающие хорошим потенциалом для развития пространственных представлений учащихся и изучение которых возможно уже в среднем звене. Одной из таких тем является тема "Поверхности вращения второго порядка".

Объектом исследования данной работы является методика обучения математике, предметом исследования - особенности обучения теме "Поверхности вращения второго порядка" в школьном курсе математики.

Целью работы является определение эффективных методов и средств обучения теме "Поверхности вращения второго порядка" в школьном курсе математики и разработка на этой основе системы занятий.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

проанализировать учебную литературу о поверхностях второго порядка;

описать построение наиболее известных поверхностей второго порядка;

исследовать уравнения поверхностей второго порядка;

проанализировать содержание школьного курса математики;

проанализировать возможности математических пакетов для изучения темы "Поверхности вращения второго порядка";

выявить методы и средства, эффективные при изучении темы "Поверхности вращения второго порядка"

разработать систему занятий по теме "Поверхности вращения второго порядка".

Уравнение поверхностей второго порядка

Поверхности второго порядка - это поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых, удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

(*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую поверхность второго порядка.

В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс поверхности второго порядка.

Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно,

1) эллипсоиды

- эллипсоиды,

- мнимые эллипсоиды;

2) гиперболоиды:

- однополостные гиперболоиды,

- двуполостные гиперболоиды;

3) параболоиды (p > 0, q > 0):

- эллиптические параболоиды,

- гиперболические параболоиды;

4) конические поверхности:

- конусы,

- мнимые конусы;

5) цилиндрические поверхности:

- эллиптические цилиндры,

- гиперболические цилиндры,

- параболические цилиндры.

школьный курс математика обучение

Основные типы поверхностей второго порядка и их свойства

Эллипсоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом. Эллипсоид изображен на рисунке 1.

Рис.1

Свойства эллипсоида

Эллипсоид - ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

Эллипсоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно координатных осей,

плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Эллиптический параболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом. Эллиптический параболоид изображен на рисунке 2.

Рис.2

Свойства эллиптического параболоида

Эллиптический параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

Эллиптический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,

плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - парабола.

Однополостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом. Однополостный гиперболоид изображен на рисунке 3.

Рис.3

Свойства однополостного гиперболоида

Однополостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z - любое число.