Интеграл Лебега-Стилтьеса
Цепные дроби рассматривающегося П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке . Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни
,
оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале
. Далее, поскольку
рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана
становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел
; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности
, как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел
достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции
. Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т.е. решение проблемы моментов. Если при этом
и
,
и
попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы
и
. Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала
, но для этого требовалось дать иное определение моментов.
Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.
Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.
Он рассмотрел интеграл для случая произвольной непрерывной
и произвольной возрастающей
. В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.
Глава II. Интеграл Стилтьеса
2.1 Определение интеграла Стилтьеса
Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции
и
. Разложим точками
(1)
промежуток на части и положим
. Выбрав в каждой из частей
по точке
, вычислим значение
функции
и умножим его на соответствующее промежутку
приращение функции
.
Наконец, составим сумму всех таких произведений:
. (2)
Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.
Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении
к нулю называется интегралом Стилтьеса функции
по функции
и обозначается символом
. (3)
Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение
Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа
существует такое число
, что лишь только промежуток
раздроблен на части так, что
, тотчас же выполняется неравенство
,
как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.
При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке
интегрируема по функции
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах