Интеграл Лебега-Стилтьеса
Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса
Рассмотрим интеграл
(20)
предполагая функцию непрерывной интеграл пол
ожительной, а - лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция
может иметь и разрывы (скачки).
Система параметрических уравнений
(21)
выражает некоторую кривую , вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором
функция
испытывает скачок, так что
, то этим предельным значениям
отвечает одно интеграл то же предельное значение
, равное
. Дополним кривую
всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек
и
отвечающие всем скачкам функции (см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая
. Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой
, осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам
и
.
С этой целью разложим промежуток на части точками
и в соответствии с этим промежуток на оси
- на части точками
Введя наименьшее и наибольшее значения и
функции
в
-м промежутке
, составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу
Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.
Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (20).
2.10 Теорема о среднем, оценки
Пусть в промежутке функция
ограничена:
а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса
от
по
, то имеет место формула
(22)
Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.
Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы :
Переходя к пределу, получим
(23)
Или
Обозначая написанное отношение через , придем к (22).
Если функция в промежутке
непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что
есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретает вид
, где
(24)
В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция непрерывна, а функция
имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:
(25)
Где
.
Действительно, для суммы Стилтьеса будет
так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.
Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы к самому интегралу Стилтьеса
(при прежних предположениях относительно функций
и
). Представив
и
в виде
и почленно вычитая эти равенства, получим
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах