Интеграл Лебега-Стилтьеса
Верхняя грань сумм в левой части и нижняя грань сумм в правой части этих неравенств обе равны интегралу Стилтьеса функции , взятому в пределах от
до
; последний всегда существует, как интеграл непрерывной функции, ограниченной в промежутке интегрирования. Итак, для среднего значения
должно иметь место равенство:
.
Несколько сложнее обстоит дело со случайными величинами, которые могут принимать неограниченное множество значений. Если такая случайная величина может принимать только счетное множество значений
, то среднее значение
определяется формулой
, (3)
причем ряд в правой части этой формулы должен быть абсолютно сходящимся, иначе его сумма зависела бы от порядка, в котором перенумерованы значения случайной величины, и среднее значение не было бы однозначно определено.
Имея формулу (3), мы можем при помощи соответствующим образом определенного несобственного интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения и на многие такие случайные величины, которые могут принимать несчетное неограниченное множество значений.
Приведем пример вычисления среднего значения случайной величины
, для которой это вычисление требует именно интеграла Стилтьеса, незаменимого ни обычным интегралом, ни конечным, ни бесконечным рядом.
Пусть случайная величина определяется следующими условиями:
Она может принимать только значения между 0 и 1. Таким образом, её функция должна быть равна 0 при x<0 и равна 1 при .
0 1
Она не может принимать ни одного значения в интервале ; попадание в соседние интервалы равновероятно. Таким образом, в интервале
её функция распределения должна быть постоянна и равна
.
В каждом из крайних интервалов повторяется такая же картина, т.е. не может принимать ни одного значения в интервале
и
, попадание же в четыре интервала
,
,
,
для неё одинаково вероятно. Таким образом, в интервалах
и
её функция распределения должна иметь постоянные значения: в первом
и во втором
.
Такая же картина повторяется и в каждом из названных четырех интервалов длины и т.д.
0 1
0 1
Повторив раз наше рассуждение, мы будем иметь
интервалов, каждый длины
; для
из этих интервалов вероятность попадания в каждый из них будет равна
, попадание в остальные будет невозможно. В этих последующих функция распределения будет постоянна. Чтобы определить функцию распределения в каждой точке интервала
, достаточно представить себе, что мы повторяем такие же рассуждения бесконечное число раз. После этого даже в точках, оставшихся вне интервалов, в которых функция распределения постоянна, она должна была получить определенные значения в силу того, что она должна быть неубывающей.
В самом деле, и слева, и справа от каждой такой точки, с обеих сторон как угодно близко к ней, будут встречаться интервалы, в которых функция распределения постоянна, потому что по мере расширения этих интервалов путем присоединения к имеющимся уже интервалам длины следующих интервалов длины
расстояния между ними становятся сколь угодно малыми.
Определив таким образом функцию распределения , мы уже без труда вычислим среднее значение
.
Для этого достаточно обратиться к его геометрическому изображению. В данном случае оно изображается площадью, ограниченной прямыми и
и кривой распределения
. Но эта площадь в силу симметрии равна площади, ограниченной прямыми
и
и кривой
. Взятые же вместе эти площади составляют площадь квадрата равную 1. Отсюда ясно, что
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах