Интеграл Лебега-Стилтьеса

Имеем:

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) б) в)

где

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, при и . Производная

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке ; сверх того, положим, . Очевидно, - монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

На отрезке при содержится, очевидно, масса . Точно так же на отрезке содержится масса . Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение

.

При стремлении к 0 всех , в пределе придем к точному результату:

. (16)

Можно было бы здесь сначала установить "элементарный" статический момент , отвечающий отрезку оси от до , а затем "просуммировать" эти элементы.

Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начал найдем формулу

(17)

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность ; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится интеграл для интеграла (17).

а) Составить выражение и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем:

б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем

в) выяснить распределение масс, если равна функции задачи 3).

Решение:

Массы величины 1 в точках и 0, в промежутке непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке - массы с плотностью .

6. Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось вдоль по оси балки, а ось вертикально вниз (см. рис) Не делая различий между действующими силами, обозначим для через сумму всех сил, приложенных на отрезке балки, включая интеграл реакции опор; далее, пусть . Силу называют перерезывающим усилием в сечении балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх - отрицательными.

 Скачать реферат