Интеграл Лебега-Стилтьеса

Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием замены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интеграла Стилтьеса.

Стилтьес рассматривал непрерывные дроби вида

(6)

где <

img width=13 height=13 src="images/referats/3141/image036.png">- в общем случае комплексное число.

Пусть - подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы

причем, если ряд расходится, то

если же ряд сходится, то

и функции и различны.

К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом

(7)

и непрерывной дробью

, (8)

где - суть линейные функции , а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :

Формулами

Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни и действительны и различны, степень меньше степени . Для -й подходящей дроби справедливо равенство

или, в другой форме,

В частности,

Как уже говорилось при , а потому, если обозначить через нули , то и при . Аналогично, если - нули функции , то и для случая нечетных . В случае расходимости ряда очевидно, что .

Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням :

(9)

Тогда оказывается, что ряды

сходятся и

(10)

Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача - по разложению (9) найти дробь (6) - неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.

В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация , как массы, сосредоточенной в точке , являющейся корнем . Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая как массы, расположенные в нулях функции (или ). После введения формул (10) Стилтьес пишет: "Рассмотрим на бесконечной прямой распределение массы (положительной), при котором на расстоянии от начала сосредоточена масса .

Сумма

может быть названа моментом порядка масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка системы масс

имеет значение .

Равным образом система масс , где , будем иметь те же моменты .

Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:

Найти распределение положительной массы на прямой , если даны моменты порядка ".

Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование и как масс, а как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.

 Скачать реферат