Интеграл Лебега-Стилтьеса

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент в произвольном сечении балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент сч

итают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части - обратное правило).

Так как на элементе , скажем, правой части балки приложена сила , создающая элементарный момент

то, "суммируя" получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

(18)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через , то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы приложены в точках . Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственные равные . Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

.

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интеграл сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим ещё один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

Пусть балка длины несет "треугольную" нагрузку с интенсивностью ; кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке , интеграл реакции опор, обе равные - 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие интеграл изгибающий момент .

Решение:

Формула (15) может оказаться полезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем примере.

Пусть - "кусочно-полиномиальная" функция в промежутке ; это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками

так, что в каждой из частей функция представляется полиномом не выше -й степени. Заменив значения функции и всех её производных в точках и нулями, обозначим через величину скачка -й производной в -й точке .

Пусть, далее, - любая непрерывная функция; положим

и, вообще,

Тогда имеет место следующая формула:

Действительно, последовательно находим

двойная подстановка исчезает, а интеграл

Аналогично

и т.д.

Установим в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если и обе абсолютно интегрируемы в промежутке , а и определяются интегральными формулами:

то справедлива формула

(19)

Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):

Остается ещё раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).

Здесь функции и играют как бы роль производных от функций , не будучи ими на деле. При непрерывности функций и мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное

 Скачать реферат