Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

|| > 2, | | > 2, | c| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,

т.е. в уравнении a2+ b4 = c4 b и c=> в уравнении (1) при - четном числе bи c,

т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

********

Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.

*******

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод:

1. Уравнение (1) , где ≥2 - четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.

*******

Примечание

1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, где m= 2, распространяется и на показатель степени q=2m при m>2 – натуральном.

2. Если уравнение al+ b4 = c4, где ≥2 - четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, и c, то и уравнение a4+ b4 = c4 не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).

Вывод : Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4доказана.

3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, cв уравнении al+ b4 = c4(≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.

********

Утверждение 3

Часть 1

Уравнение (≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо b= ± 1, либо c= ± 1.

*********

Часть первая(Утверждения 3)

Уравнение (≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Доказательство

Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:

=> (2).

Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.

******

Примечание

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда

b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.

(5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. cи b взаимно простые целые числа.

Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:

 Скачать реферат